Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50599 / 49261
↖ ↑ ↗
← S 66.750746°
E 97.948608°		 ← 241.12 m → S 66.750746°
E 97.954102°		 →
↑
241.08 m
↓
↑
241.08 m
↓
S 66.752914°
E 97.948608°		 ← 241.10 m →
58 127 m²		 S 66.752914°
E 97.954102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772087097167969 y=0.751670837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772087097167969 × 216)
    floor (0.772087097167969 × 65536)
    floor (50599.5)     		tx = 50599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751670837402344 × 216)
    floor (0.751670837402344 × 65536)
    floor (49261.5)     		ty = 49261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50599 / 49261 ti = "16/50599/49261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50599/49261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50599 ÷ 216
    50599 ÷ 65536     		x = 0.772079467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49261 ÷ 216
    49261 ÷ 65536     		y = 0.751663208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772079467773438 × 2 - 1) × π
    0.544158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70952571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751663208007812 × 2 - 1) × π
    -0.503326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58124657086717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70952571} λ = 1.70952571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58124657086717))-π/2
    2×atan(0.205718495617982)-π/2
    2×0.202888017921914-π/2
    0.405776035843828-1.57079632675     		φ = -1.16502029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70952571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.948608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16502029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.750746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50599 KachelY 49261 1.70952571 -1.16502029 97.948608 -66.750746
    Oben rechts KachelX + 1 50600 KachelY 49261 1.70962159 -1.16502029 97.954102 -66.750746
    Unten links KachelX 50599 KachelY + 1 49262 1.70952571 -1.16505813 97.948608 -66.752914
    Unten rechts KachelX + 1 50600 KachelY + 1 49262 1.70962159 -1.16505813 97.954102 -66.752914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16502029--1.16505813) × R
    3.78400000000667e-05 × 6371000     		dl = 241.078640000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16502029--1.16505813) × R
    3.78400000000667e-05 × 6371000     		dr = 241.078640000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70952571-1.70962159) × cos(-1.16502029) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.394731898932102 × 6371000     		do = 241.122564665727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70952571-1.70962159) × cos(-1.16505813) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.394697131395724 × 6371000     		du = 241.101326864674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16502029)-sin(-1.16505813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394731898932102-0.394697131395724)×R²
    abs(1.70962159-1.70952571)×3.47675363782662e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.47675363782662e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.47675363782662e-05×40589641000000     		ar = 58126.9399800598m²