Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50599 / 48501
↖ ↑ ↗
← S 65.046650°
E 97.948608°		 ← 257.71 m → S 65.046650°
E 97.954102°		 →
↑
257.71 m
↓
↑
257.71 m
↓
S 65.048968°
E 97.948608°		 ← 257.68 m →
66 410 m²		 S 65.048968°
E 97.954102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772087097167969 y=0.740074157714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772087097167969 × 216)
    floor (0.772087097167969 × 65536)
    floor (50599.5)     		tx = 50599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740074157714844 × 216)
    floor (0.740074157714844 × 65536)
    floor (48501.5)     		ty = 48501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50599 / 48501 ti = "16/50599/48501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50599/48501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50599 ÷ 216
    50599 ÷ 65536     		x = 0.772079467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48501 ÷ 216
    48501 ÷ 65536     		y = 0.740066528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772079467773438 × 2 - 1) × π
    0.544158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70952571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740066528320312 × 2 - 1) × π
    -0.480133056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50838248344469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70952571} λ = 1.70952571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50838248344469))-π/2
    2×atan(0.221267592651833)-π/2
    2×0.217759056358692-π/2
    0.435518112717383-1.57079632675     		φ = -1.13527821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70952571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.948608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13527821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.046650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50599 KachelY 48501 1.70952571 -1.13527821 97.948608 -65.046650
    Oben rechts KachelX + 1 50600 KachelY 48501 1.70962159 -1.13527821 97.954102 -65.046650
    Unten links KachelX 50599 KachelY + 1 48502 1.70952571 -1.13531866 97.948608 -65.048968
    Unten rechts KachelX + 1 50600 KachelY + 1 48502 1.70962159 -1.13531866 97.954102 -65.048968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13527821--1.13531866) × R
    4.04499999999697e-05 × 6371000     		dl = 257.706949999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13527821--1.13531866) × R
    4.04499999999697e-05 × 6371000     		dr = 257.706949999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70952571-1.70962159) × cos(-1.13527821) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.421880209382571 × 6371000     		do = 257.706150283884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70952571-1.70962159) × cos(-1.13531866) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.421843534980997 × 6371000     		du = 257.683747671405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13527821)-sin(-1.13531866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421880209382571-0.421843534980997)×R²
    abs(1.70962159-1.70952571)×3.66744015732889e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.66744015732889e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.66744015732889e-05×40589641000000     		ar = 66409.7793404647m²