Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50598 / 48998
↖ ↑ ↗
← S 66.173828°
E 97.943115°		 ← 246.74 m → S 66.173828°
E 97.948608°		 →
↑
246.75 m
↓
↑
246.75 m
↓
S 66.176047°
E 97.943115°		 ← 246.71 m →
60 879 m²		 S 66.176047°
E 97.948608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772071838378906 y=0.747657775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772071838378906 × 216)
    floor (0.772071838378906 × 65536)
    floor (50598.5)     		tx = 50598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747657775878906 × 216)
    floor (0.747657775878906 × 65536)
    floor (48998.5)     		ty = 48998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50598 / 48998 ti = "16/50598/48998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50598/48998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50598 ÷ 216
    50598 ÷ 65536     		x = 0.772064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48998 ÷ 216
    48998 ÷ 65536     		y = 0.747650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772064208984375 × 2 - 1) × π
    0.54412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70942984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.49530029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55603176166702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70942984} λ = 1.70942984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55603176166702))-π/2
    2×atan(0.210971597901773)-π/2
    2×0.207922572336107-π/2
    0.415845144672213-1.57079632675     		φ = -1.15495118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70942984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.943115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15495118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.173828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50598 KachelY 48998 1.70942984 -1.15495118 97.943115 -66.173828
    Oben rechts KachelX + 1 50599 KachelY 48998 1.70952571 -1.15495118 97.948608 -66.173828
    Unten links KachelX 50598 KachelY + 1 48999 1.70942984 -1.15498991 97.943115 -66.176047
    Unten rechts KachelX + 1 50599 KachelY + 1 48999 1.70952571 -1.15498991 97.948608 -66.176047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15495118--1.15498991) × R
    3.87299999999868e-05 × 6371000     		dl = 246.748829999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15495118--1.15498991) × R
    3.87299999999868e-05 × 6371000     		dr = 246.748829999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70942984-1.70952571) × cos(-1.15495118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403963193924926 × 6371000     		do = 246.735778379478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70942984-1.70952571) × cos(-1.15498991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403927764376952 × 6371000     		du = 246.714138444879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15495118)-sin(-1.15498991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403963193924926-0.403927764376952)×R²
    abs(1.70952571-1.70942984)×3.54295479739752e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.54295479739752e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.54295479739752e-05×40589641000000     		ar = 60879.0948274593m²