Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50598 / 48571
↖ ↑ ↗
← S 65.208379°
E 97.943115°		 ← 256.12 m → S 65.208379°
E 97.948608°		 →
↑
256.11 m
↓
↑
256.11 m
↓
S 65.210683°
E 97.943115°		 ← 256.09 m →
65 592 m²		 S 65.210683°
E 97.948608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772071838378906 y=0.741142272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772071838378906 × 216)
    floor (0.772071838378906 × 65536)
    floor (50598.5)     		tx = 50598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741142272949219 × 216)
    floor (0.741142272949219 × 65536)
    floor (48571.5)     		ty = 48571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50598 / 48571 ti = "16/50598/48571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50598/48571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50598 ÷ 216
    50598 ÷ 65536     		x = 0.772064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48571 ÷ 216
    48571 ÷ 65536     		y = 0.741134643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772064208984375 × 2 - 1) × π
    0.54412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70942984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741134643554688 × 2 - 1) × π
    -0.482269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51509364939149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70942984} λ = 1.70942984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51509364939149))-π/2
    2×atan(0.219787600908857)-π/2
    2×0.216347702386037-π/2
    0.432695404772075-1.57079632675     		φ = -1.13810092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70942984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.943115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13810092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.208379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50598 KachelY 48571 1.70942984 -1.13810092 97.943115 -65.208379
    Oben rechts KachelX + 1 50599 KachelY 48571 1.70952571 -1.13810092 97.948608 -65.208379
    Unten links KachelX 50598 KachelY + 1 48572 1.70942984 -1.13814112 97.943115 -65.210683
    Unten rechts KachelX + 1 50599 KachelY + 1 48572 1.70952571 -1.13814112 97.948608 -65.210683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13810092--1.13814112) × R
    4.01999999999347e-05 × 6371000     		dl = 256.114199999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13810092--1.13814112) × R
    4.01999999999347e-05 × 6371000     		dr = 256.114199999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70942984-1.70952571) × cos(-1.13810092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419319317592876 × 6371000     		do = 256.115110910469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70942984-1.70952571) × cos(-1.13814112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419282822133796 × 6371000     		du = 256.092819930402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13810092)-sin(-1.13814112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419319317592876-0.419282822133796)×R²
    abs(1.70952571-1.70942984)×3.64954590801325e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64954590801325e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64954590801325e-05×40589641000000     		ar = 65591.8622294675m²