Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50597 / 48570
↖ ↑ ↗
← S 65.206076°
E 97.937622°		 ← 256.14 m → S 65.206076°
E 97.943115°		 →
↑
256.11 m
↓
↑
256.11 m
↓
S 65.208379°
E 97.937622°		 ← 256.12 m →
65 598 m²		 S 65.208379°
E 97.943115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772056579589844 y=0.741127014160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772056579589844 × 216)
    floor (0.772056579589844 × 65536)
    floor (50597.5)     		tx = 50597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741127014160156 × 216)
    floor (0.741127014160156 × 65536)
    floor (48570.5)     		ty = 48570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50597 / 48570 ti = "16/50597/48570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50597/48570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50597 ÷ 216
    50597 ÷ 65536     		x = 0.772048950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48570 ÷ 216
    48570 ÷ 65536     		y = 0.741119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772048950195312 × 2 - 1) × π
    0.544097900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70933397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741119384765625 × 2 - 1) × π
    -0.48223876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51499777559225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70933397} λ = 1.70933397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51499777559225))-π/2
    2×atan(0.219808673791334)-π/2
    2×0.216367804128775-π/2
    0.43273560825755-1.57079632675     		φ = -1.13806072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70933397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.937622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13806072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.206076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50597 KachelY 48570 1.70933397 -1.13806072 97.937622 -65.206076
    Oben rechts KachelX + 1 50598 KachelY 48570 1.70942984 -1.13806072 97.943115 -65.206076
    Unten links KachelX 50597 KachelY + 1 48571 1.70933397 -1.13810092 97.937622 -65.208379
    Unten rechts KachelX + 1 50598 KachelY + 1 48571 1.70942984 -1.13810092 97.943115 -65.208379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13806072--1.13810092) × R
    4.02000000001568e-05 × 6371000     		dl = 256.114200000999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13806072--1.13810092) × R
    4.02000000001568e-05 × 6371000     		dr = 256.114200000999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70933397-1.70942984) × cos(-1.13806072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419355812374319 × 6371000     		do = 256.137401476643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70933397-1.70942984) × cos(-1.13810092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419319317592876 × 6371000     		du = 256.115110910469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13806072)-sin(-1.13810092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419355812374319-0.419319317592876)×R²
    abs(1.70942984-1.70933397)×3.64947814435745e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64947814435745e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64947814435745e-05×40589641000000     		ar = 65597.5712127486m²