Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50596 / 49647
↖ ↑ ↗
← S 67.573622°
E 97.932129°		 ← 233.04 m → S 67.573622°
E 97.937622°		 →
↑
232.99 m
↓
↑
232.99 m
↓
S 67.575717°
E 97.932129°		 ← 233.02 m →
54 292 m²		 S 67.575717°
E 97.937622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772041320800781 y=0.757560729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772041320800781 × 216)
    floor (0.772041320800781 × 65536)
    floor (50596.5)     		tx = 50596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757560729980469 × 216)
    floor (0.757560729980469 × 65536)
    floor (49647.5)     		ty = 49647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50596 / 49647 ti = "16/50596/49647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50596/49647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50596 ÷ 216
    50596 ÷ 65536     		x = 0.77203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49647 ÷ 216
    49647 ÷ 65536     		y = 0.757553100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77203369140625 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70923809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757553100585938 × 2 - 1) × π
    -0.515106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61825385737386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70923809} λ = 1.70923809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61825385737386))-π/2
    2×atan(0.198244560311381)-π/2
    2×0.195707068667909-π/2
    0.391414137335817-1.57079632675     		φ = -1.17938219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70923809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17938219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.573622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50596 KachelY 49647 1.70923809 -1.17938219 97.932129 -67.573622
    Oben rechts KachelX + 1 50597 KachelY 49647 1.70933397 -1.17938219 97.937622 -67.573622
    Unten links KachelX 50596 KachelY + 1 49648 1.70923809 -1.17941876 97.932129 -67.575717
    Unten rechts KachelX + 1 50597 KachelY + 1 49648 1.70933397 -1.17941876 97.937622 -67.575717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17938219--1.17941876) × R
    3.65699999997915e-05 × 6371000     		dl = 232.987469998672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17938219--1.17941876) × R
    3.65699999997915e-05 × 6371000     		dr = 232.987469998672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70923809-1.70933397) × cos(-1.17938219) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.381495982473626 × 6371000     		do = 233.037385508455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70923809-1.70933397) × cos(-1.17941876) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.381462177989466 × 6371000     		du = 233.016735989276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17938219)-sin(-1.17941876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381495982473626-0.381462177989466)×R²
    abs(1.70933397-1.70923809)×3.38044841599605e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.38044841599605e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.38044841599605e-05×40589641000000     		ar = 54292.3853308272m²