Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50596 / 49339
↖ ↑ ↗
← S 66.919296°
E 97.932129°		 ← 239.47 m → S 66.919296°
E 97.937622°		 →
↑
239.42 m
↓
↑
239.42 m
↓
S 66.921449°
E 97.932129°		 ← 239.45 m →
57 332 m²		 S 66.921449°
E 97.937622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772041320800781 y=0.752861022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772041320800781 × 216)
    floor (0.772041320800781 × 65536)
    floor (50596.5)     		tx = 50596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752861022949219 × 216)
    floor (0.752861022949219 × 65536)
    floor (49339.5)     		ty = 49339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50596 / 49339 ti = "16/50596/49339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50596/49339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50596 ÷ 216
    50596 ÷ 65536     		x = 0.77203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49339 ÷ 216
    49339 ÷ 65536     		y = 0.752853393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77203369140625 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70923809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752853393554688 × 2 - 1) × π
    -0.505706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5887247272079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70923809} λ = 1.70923809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5887247272079))-π/2
    2×atan(0.204185838413204)-π/2
    2×0.201417145528295-π/2
    0.40283429105659-1.57079632675     		φ = -1.16796204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70923809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16796204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.919296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50596 KachelY 49339 1.70923809 -1.16796204 97.932129 -66.919296
    Oben rechts KachelX + 1 50597 KachelY 49339 1.70933397 -1.16796204 97.937622 -66.919296
    Unten links KachelX 50596 KachelY + 1 49340 1.70923809 -1.16799962 97.932129 -66.921449
    Unten rechts KachelX + 1 50597 KachelY + 1 49340 1.70933397 -1.16799962 97.937622 -66.921449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16796204--1.16799962) × R
    3.75800000000925e-05 × 6371000     		dl = 239.42218000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16796204--1.16799962) × R
    3.75800000000925e-05 × 6371000     		dr = 239.42218000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70923809-1.70933397) × cos(-1.16796204) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.392027325692986 × 6371000     		do = 239.4704721004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70923809-1.70933397) × cos(-1.16799962) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.391992753560911 × 6371000     		du = 239.449353662355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16796204)-sin(-1.16799962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392027325692986-0.391992753560911)×R²
    abs(1.70933397-1.70923809)×3.45721320753056e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.45721320753056e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.45721320753056e-05×40589641000000     		ar = 57332.0143719504m²