Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50596 / 49068
↖ ↑ ↗
← S 66.328685°
E 97.932129°		 ← 245.25 m → S 66.328685°
E 97.937622°		 →
↑
245.22 m
↓
↑
245.22 m
↓
S 66.330890°
E 97.932129°		 ← 245.23 m →
60 138 m²		 S 66.330890°
E 97.937622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772041320800781 y=0.748725891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772041320800781 × 216)
    floor (0.772041320800781 × 65536)
    floor (50596.5)     		tx = 50596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748725891113281 × 216)
    floor (0.748725891113281 × 65536)
    floor (49068.5)     		ty = 49068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50596 / 49068 ti = "16/50596/49068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50596/49068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50596 ÷ 216
    50596 ÷ 65536     		x = 0.77203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49068 ÷ 216
    49068 ÷ 65536     		y = 0.74871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77203369140625 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70923809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.4974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56274292761383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70923809} λ = 1.70923809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56274292761383))-π/2
    2×atan(0.20956047294147)-π/2
    2×0.206571194419867-π/2
    0.413142388839734-1.57079632675     		φ = -1.15765394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70923809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15765394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.328685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50596 KachelY 49068 1.70923809 -1.15765394 97.932129 -66.328685
    Oben rechts KachelX + 1 50597 KachelY 49068 1.70933397 -1.15765394 97.937622 -66.328685
    Unten links KachelX 50596 KachelY + 1 49069 1.70923809 -1.15769243 97.932129 -66.330890
    Unten rechts KachelX + 1 50597 KachelY + 1 49069 1.70933397 -1.15769243 97.937622 -66.330890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15765394--1.15769243) × R
    3.84899999998911e-05 × 6371000     		dl = 245.219789999306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15765394--1.15769243) × R
    3.84899999998911e-05 × 6371000     		dr = 245.219789999306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70923809-1.70933397) × cos(-1.15765394) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.401489303553184 × 6371000     		do = 245.250335280039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70923809-1.70933397) × cos(-1.15769243) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.401454051661515 × 6371000     		du = 245.22880160984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15765394)-sin(-1.15769243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401489303553184-0.401454051661515)×R²
    abs(1.70933397-1.70923809)×3.52518916689193e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.52518916689193e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.52518916689193e-05×40589641000000     		ar = 60137.5954811855m²