Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50596 / 49036
↖ ↑ ↗
← S 66.258011°
E 97.932129°		 ← 245.94 m → S 66.258011°
E 97.937622°		 →
↑
245.92 m
↓
↑
245.92 m
↓
S 66.260223°
E 97.932129°		 ← 245.92 m →
60 479 m²		 S 66.260223°
E 97.937622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772041320800781 y=0.748237609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772041320800781 × 216)
    floor (0.772041320800781 × 65536)
    floor (50596.5)     		tx = 50596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748237609863281 × 216)
    floor (0.748237609863281 × 65536)
    floor (49036.5)     		ty = 49036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50596 / 49036 ti = "16/50596/49036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50596/49036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50596 ÷ 216
    50596 ÷ 65536     		x = 0.77203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49036 ÷ 216
    49036 ÷ 65536     		y = 0.74822998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77203369140625 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70923809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4964599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55967496603815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70923809} λ = 1.70923809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55967496603815))-π/2
    2×atan(0.210204383661849)-π/2
    2×0.207187937211716-π/2
    0.414375874423433-1.57079632675     		φ = -1.15642045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70923809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15642045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.258011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50596 KachelY 49036 1.70923809 -1.15642045 97.932129 -66.258011
    Oben rechts KachelX + 1 50597 KachelY 49036 1.70933397 -1.15642045 97.937622 -66.258011
    Unten links KachelX 50596 KachelY + 1 49037 1.70923809 -1.15645905 97.932129 -66.260223
    Unten rechts KachelX + 1 50597 KachelY + 1 49037 1.70933397 -1.15645905 97.937622 -66.260223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15642045--1.15645905) × R
    3.86000000001108e-05 × 6371000     		dl = 245.920600000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15642045--1.15645905) × R
    3.86000000001108e-05 × 6371000     		dr = 245.920600000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70923809-1.70933397) × cos(-1.15642045) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.402618706564478 × 6371000     		do = 245.940232781005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70923809-1.70933397) × cos(-1.15645905) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.402583373068142 × 6371000     		du = 245.918649262475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15642045)-sin(-1.15645905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402618706564478-0.402583373068142)×R²
    abs(1.70933397-1.70923809)×3.53334963363316e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.53334963363316e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.53334963363316e-05×40589641000000     		ar = 60479.1157012711m²