Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50594 / 49507
↖ ↑ ↗
← S 67.278409°
E 97.921143°		 ← 235.92 m → S 67.278409°
E 97.926636°		 →
↑
235.92 m
↓
↑
235.92 m
↓
S 67.280531°
E 97.921143°		 ← 235.90 m →
55 655 m²		 S 67.280531°
E 97.926636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772010803222656 y=0.755424499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772010803222656 × 216)
    floor (0.772010803222656 × 65536)
    floor (50594.5)     		tx = 50594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755424499511719 × 216)
    floor (0.755424499511719 × 65536)
    floor (49507.5)     		ty = 49507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50594 / 49507 ti = "16/50594/49507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50594/49507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50594 ÷ 216
    50594 ÷ 65536     		x = 0.772003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49507 ÷ 216
    49507 ÷ 65536     		y = 0.755416870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772003173828125 × 2 - 1) × π
    0.54400634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70904635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755416870117188 × 2 - 1) × π
    -0.510833740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60483152548024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70904635} λ = 1.70904635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60483152548024))-π/2
    2×atan(0.200923402532671)-π/2
    2×0.198283289026641-π/2
    0.396566578053282-1.57079632675     		φ = -1.17422975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70904635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17422975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.278409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50594 KachelY 49507 1.70904635 -1.17422975 97.921143 -67.278409
    Oben rechts KachelX + 1 50595 KachelY 49507 1.70914222 -1.17422975 97.926636 -67.278409
    Unten links KachelX 50594 KachelY + 1 49508 1.70904635 -1.17426678 97.921143 -67.280531
    Unten rechts KachelX + 1 50595 KachelY + 1 49508 1.70914222 -1.17426678 97.926636 -67.280531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17422975--1.17426678) × R
    3.70299999998824e-05 × 6371000     		dl = 235.918129999251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17422975--1.17426678) × R
    3.70299999998824e-05 × 6371000     		dr = 235.918129999251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70904635-1.70914222) × cos(-1.17422975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38625366102543 × 6371000     		do = 235.919012272053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70904635-1.70914222) × cos(-1.17426678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386219504562624 × 6371000     		du = 235.898149922305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17422975)-sin(-1.17426678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38625366102543-0.386219504562624)×R²
    abs(1.70914222-1.70904635)×3.41564628058566e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41564628058566e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41564628058566e-05×40589641000000     		ar = 55655.1113096316m²