Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50594 / 49054
↖ ↑ ↗
← S 66.297789°
E 97.921143°		 ← 245.53 m → S 66.297789°
E 97.926636°		 →
↑
245.54 m
↓
↑
245.54 m
↓
S 66.299997°
E 97.921143°		 ← 245.50 m →
60 283 m²		 S 66.299997°
E 97.926636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772010803222656 y=0.748512268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772010803222656 × 216)
    floor (0.772010803222656 × 65536)
    floor (50594.5)     		tx = 50594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748512268066406 × 216)
    floor (0.748512268066406 × 65536)
    floor (49054.5)     		ty = 49054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50594 / 49054 ti = "16/50594/49054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50594/49054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50594 ÷ 216
    50594 ÷ 65536     		x = 0.772003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49054 ÷ 216
    49054 ÷ 65536     		y = 0.748504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772003173828125 × 2 - 1) × π
    0.54400634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70904635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.49700927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56140069442447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70904635} λ = 1.70904635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56140069442447))-π/2
    2×atan(0.209841940818936)-π/2
    2×0.206840806225576-π/2
    0.413681612451151-1.57079632675     		φ = -1.15711471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70904635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15711471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.297789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50594 KachelY 49054 1.70904635 -1.15711471 97.921143 -66.297789
    Oben rechts KachelX + 1 50595 KachelY 49054 1.70914222 -1.15711471 97.926636 -66.297789
    Unten links KachelX 50594 KachelY + 1 49055 1.70904635 -1.15715325 97.921143 -66.299997
    Unten rechts KachelX + 1 50595 KachelY + 1 49055 1.70914222 -1.15715325 97.926636 -66.299997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15711471--1.15715325) × R
    3.85399999998093e-05 × 6371000     		dl = 245.538339998785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15711471--1.15715325) × R
    3.85399999998093e-05 × 6371000     		dr = 245.538339998785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70904635-1.70914222) × cos(-1.15711471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401983106348405 × 6371000     		do = 245.52636510421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70904635-1.70914222) × cos(-1.15715325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401947817011262 × 6371000     		du = 245.504810808671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15711471)-sin(-1.15715325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401983106348405-0.401947817011262)×R²
    abs(1.70914222-1.70904635)×3.52893371428076e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52893371428076e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52893371428076e-05×40589641000000     		ar = 60283.4899178901m²