Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50593 / 49640
↖ ↑ ↗
← S 67.558948°
E 97.915649°		 ← 233.18 m → S 67.558948°
E 97.921143°		 →
↑
233.18 m
↓
↑
233.18 m
↓
S 67.561045°
E 97.915649°		 ← 233.16 m →
54 371 m²		 S 67.561045°
E 97.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771995544433594 y=0.757453918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771995544433594 × 216)
    floor (0.771995544433594 × 65536)
    floor (50593.5)     		tx = 50593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757453918457031 × 216)
    floor (0.757453918457031 × 65536)
    floor (49640.5)     		ty = 49640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50593 / 49640 ti = "16/50593/49640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50593/49640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50593 ÷ 216
    50593 ÷ 65536     		x = 0.771987915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49640 ÷ 216
    49640 ÷ 65536     		y = 0.7574462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771987915039062 × 2 - 1) × π
    0.543975830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70895047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61758274077917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70895047} λ = 1.70895047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61758274077917))-π/2
    2×atan(0.198377650180026)-π/2
    2×0.195835122524661-π/2
    0.391670245049322-1.57079632675     		φ = -1.17912608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70895047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.915649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17912608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.558948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50593 KachelY 49640 1.70895047 -1.17912608 97.915649 -67.558948
    Oben rechts KachelX + 1 50594 KachelY 49640 1.70904635 -1.17912608 97.921143 -67.558948
    Unten links KachelX 50593 KachelY + 1 49641 1.70895047 -1.17916268 97.915649 -67.561045
    Unten rechts KachelX + 1 50594 KachelY + 1 49641 1.70904635 -1.17916268 97.921143 -67.561045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17912608--1.17916268) × R
    3.65999999998312e-05 × 6371000     		dl = 233.178599998925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17912608--1.17916268) × R
    3.65999999998312e-05 × 6371000     		dr = 233.178599998925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70895047-1.70904635) × cos(-1.17912608) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.381732710487368 × 6371000     		do = 233.181991165468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70895047-1.70904635) × cos(-1.17916268) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.381698881848626 × 6371000     		du = 233.161326891426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17912608)-sin(-1.17916268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381732710487368-0.381698881848626)×R²
    abs(1.70904635-1.70895047)×3.38286387419617e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.38286387419617e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.38286387419617e-05×40589641000000     		ar = 54370.6410177715m²