Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50593 / 49366
↖ ↑ ↗
← S 66.977370°
E 97.915649°		 ← 238.90 m → S 66.977370°
E 97.921143°		 →
↑
238.85 m
↓
↑
238.85 m
↓
S 66.979518°
E 97.915649°		 ← 238.88 m →
57 059 m²		 S 66.979518°
E 97.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771995544433594 y=0.753273010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771995544433594 × 216)
    floor (0.771995544433594 × 65536)
    floor (50593.5)     		tx = 50593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753273010253906 × 216)
    floor (0.753273010253906 × 65536)
    floor (49366.5)     		ty = 49366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50593 / 49366 ti = "16/50593/49366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50593/49366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50593 ÷ 216
    50593 ÷ 65536     		x = 0.771987915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49366 ÷ 216
    49366 ÷ 65536     		y = 0.753265380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771987915039062 × 2 - 1) × π
    0.543975830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70895047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.50653076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59131331978738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70895047} λ = 1.70895047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59131331978738))-π/2
    2×atan(0.203657967982556)-π/2
    2×0.200910349774435-π/2
    0.401820699548869-1.57079632675     		φ = -1.16897563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70895047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.915649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16897563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.977370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50593 KachelY 49366 1.70895047 -1.16897563 97.915649 -66.977370
    Oben rechts KachelX + 1 50594 KachelY 49366 1.70904635 -1.16897563 97.921143 -66.977370
    Unten links KachelX 50593 KachelY + 1 49367 1.70895047 -1.16901312 97.915649 -66.979518
    Unten rechts KachelX + 1 50594 KachelY + 1 49367 1.70904635 -1.16901312 97.921143 -66.979518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16897563--1.16901312) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dl = 238.84878999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16897563--1.16901312) × R
    3.74899999999734e-05 × 6371000     		dr = 238.84878999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70895047-1.70904635) × cos(-1.16897563) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391094668733404 × 6371000     		do = 238.900757215753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70895047-1.70904635) × cos(-1.16901312) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391060164520011 × 6371000     		du = 238.879680265935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16897563)-sin(-1.16901312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391094668733404-0.391060164520011)×R²
    abs(1.70904635-1.70895047)×3.45042133930717e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.45042133930717e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.45042133930717e-05×40589641000000     		ar = 57058.6396958594m²