Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50593 / 49121
↖ ↑ ↗
← S 66.445302°
E 97.915649°		 ← 244.11 m → S 66.445302°
E 97.921143°		 →
↑
244.07 m
↓
↑
244.07 m
↓
S 66.447497°
E 97.915649°		 ← 244.09 m →
59 578 m²		 S 66.447497°
E 97.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771995544433594 y=0.749534606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771995544433594 × 216)
    floor (0.771995544433594 × 65536)
    floor (50593.5)     		tx = 50593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749534606933594 × 216)
    floor (0.749534606933594 × 65536)
    floor (49121.5)     		ty = 49121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50593 / 49121 ti = "16/50593/49121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50593/49121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50593 ÷ 216
    50593 ÷ 65536     		x = 0.771987915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49121 ÷ 216
    49121 ÷ 65536     		y = 0.749526977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771987915039062 × 2 - 1) × π
    0.543975830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70895047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749526977539062 × 2 - 1) × π
    -0.499053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56782423897356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70895047} λ = 1.70895047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56782423897356))-π/2
    2×atan(0.208498331750162)-π/2
    2×0.205553518900853-π/2
    0.411107037801707-1.57079632675     		φ = -1.15968929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70895047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.915649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15968929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.445302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50593 KachelY 49121 1.70895047 -1.15968929 97.915649 -66.445302
    Oben rechts KachelX + 1 50594 KachelY 49121 1.70904635 -1.15968929 97.921143 -66.445302
    Unten links KachelX 50593 KachelY + 1 49122 1.70895047 -1.15972760 97.915649 -66.447497
    Unten rechts KachelX + 1 50594 KachelY + 1 49122 1.70904635 -1.15972760 97.921143 -66.447497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15968929--1.15972760) × R
    3.83100000000969e-05 × 6371000     		dl = 244.073010000617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15968929--1.15972760) × R
    3.83100000000969e-05 × 6371000     		dr = 244.073010000617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70895047-1.70904635) × cos(-1.15968929) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.399624370019357 × 6371000     		do = 244.111137870232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70895047-1.70904635) × cos(-1.15972760) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.399589251754166 × 6371000     		du = 244.089685825965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15968929)-sin(-1.15972760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399624370019357-0.399589251754166)×R²
    abs(1.70904635-1.70895047)×3.51182651905368e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.51182651905368e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.51182651905368e-05×40589641000000     		ar = 59578.3222696164m²