Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50593 / 49118
↖ ↑ ↗
← S 66.438715°
E 97.915649°		 ← 244.18 m → S 66.438715°
E 97.921143°		 →
↑
244.20 m
↓
↑
244.20 m
↓
S 66.440911°
E 97.915649°		 ← 244.15 m →
59 625 m²		 S 66.440911°
E 97.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771995544433594 y=0.749488830566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771995544433594 × 216)
    floor (0.771995544433594 × 65536)
    floor (50593.5)     		tx = 50593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749488830566406 × 216)
    floor (0.749488830566406 × 65536)
    floor (49118.5)     		ty = 49118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50593 / 49118 ti = "16/50593/49118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50593/49118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50593 ÷ 216
    50593 ÷ 65536     		x = 0.771987915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49118 ÷ 216
    49118 ÷ 65536     		y = 0.749481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771987915039062 × 2 - 1) × π
    0.543975830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70895047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.49896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56753661757584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70895047} λ = 1.70895047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56753661757584))-π/2
    2×atan(0.208558308956712)-π/2
    2×0.205610996737663-π/2
    0.411221993475326-1.57079632675     		φ = -1.15957433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70895047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.915649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15957433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.438715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50593 KachelY 49118 1.70895047 -1.15957433 97.915649 -66.438715
    Oben rechts KachelX + 1 50594 KachelY 49118 1.70904635 -1.15957433 97.921143 -66.438715
    Unten links KachelX 50593 KachelY + 1 49119 1.70895047 -1.15961266 97.915649 -66.440911
    Unten rechts KachelX + 1 50594 KachelY + 1 49119 1.70904635 -1.15961266 97.921143 -66.440911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15957433--1.15961266) × R
    3.83299999999753e-05 × 6371000     		dl = 244.200429999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15957433--1.15961266) × R
    3.83299999999753e-05 × 6371000     		dr = 244.200429999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70895047-1.70904635) × cos(-1.15957433) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.399729748794646 × 6371000     		do = 244.175508651078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70895047-1.70904635) × cos(-1.15961266) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.399694613956636 × 6371000     		du = 244.15404648328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15957433)-sin(-1.15961266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399729748794646-0.399694613956636)×R²
    abs(1.70904635-1.70895047)×3.5134838010098e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.5134838010098e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.5134838010098e-05×40589641000000     		ar = 59625.1436800904m²