Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50593 / 48516
↖ ↑ ↗
← S 65.081390°
E 97.915649°		 ← 257.37 m → S 65.081390°
E 97.921143°		 →
↑
257.32 m
↓
↑
257.32 m
↓
S 65.083704°
E 97.915649°		 ← 257.35 m →
66 225 m²		 S 65.083704°
E 97.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771995544433594 y=0.740303039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771995544433594 × 216)
    floor (0.771995544433594 × 65536)
    floor (50593.5)     		tx = 50593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740303039550781 × 216)
    floor (0.740303039550781 × 65536)
    floor (48516.5)     		ty = 48516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50593 / 48516 ti = "16/50593/48516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50593/48516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50593 ÷ 216
    50593 ÷ 65536     		x = 0.771987915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48516 ÷ 216
    48516 ÷ 65536     		y = 0.74029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771987915039062 × 2 - 1) × π
    0.543975830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70895047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.4805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50982059043329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70895047} λ = 1.70895047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50982059043329))-π/2
    2×atan(0.220949614878321)-π/2
    2×0.217455899621429-π/2
    0.434911799242859-1.57079632675     		φ = -1.13588453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70895047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.915649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13588453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.081390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50593 KachelY 48516 1.70895047 -1.13588453 97.915649 -65.081390
    Oben rechts KachelX + 1 50594 KachelY 48516 1.70904635 -1.13588453 97.921143 -65.081390
    Unten links KachelX 50593 KachelY + 1 48517 1.70895047 -1.13592492 97.915649 -65.083704
    Unten rechts KachelX + 1 50594 KachelY + 1 48517 1.70904635 -1.13592492 97.921143 -65.083704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13588453--1.13592492) × R
    4.03899999998902e-05 × 6371000     		dl = 257.324689999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13588453--1.13592492) × R
    4.03899999998902e-05 × 6371000     		dr = 257.324689999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70895047-1.70904635) × cos(-1.13588453) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.421330410883163 × 6371000     		do = 257.37030505682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70895047-1.70904635) × cos(-1.13592492) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.421293780557352 × 6371000     		du = 257.347929368085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13588453)-sin(-1.13592492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421330410883163-0.421293780557352)×R²
    abs(1.70904635-1.70895047)×3.66303258111378e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.66303258111378e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.66303258111378e-05×40589641000000     		ar = 66224.8550643192m²