Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50591 / 49057
↖ ↑ ↗
← S 66.304413°
E 97.904663°		 ← 245.49 m → S 66.304413°
E 97.910156°		 →
↑
245.47 m
↓
↑
245.47 m
↓
S 66.306621°
E 97.904663°		 ← 245.47 m →
60 258 m²		 S 66.306621°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771965026855469 y=0.748558044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771965026855469 × 216)
    floor (0.771965026855469 × 65536)
    floor (50591.5)     		tx = 50591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748558044433594 × 216)
    floor (0.748558044433594 × 65536)
    floor (49057.5)     		ty = 49057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50591 / 49057 ti = "16/50591/49057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50591/49057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50591 ÷ 216
    50591 ÷ 65536     		x = 0.771957397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49057 ÷ 216
    49057 ÷ 65536     		y = 0.748550415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771957397460938 × 2 - 1) × π
    0.543914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70875872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748550415039062 × 2 - 1) × π
    -0.497100830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56168831582219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70875872} λ = 1.70875872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56168831582219))-π/2
    2×atan(0.209781594465485)-π/2
    2×0.206783004366496-π/2
    0.413566008732993-1.57079632675     		φ = -1.15723032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70875872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15723032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.304413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50591 KachelY 49057 1.70875872 -1.15723032 97.904663 -66.304413
    Oben rechts KachelX + 1 50592 KachelY 49057 1.70885460 -1.15723032 97.910156 -66.304413
    Unten links KachelX 50591 KachelY + 1 49058 1.70875872 -1.15726885 97.904663 -66.306621
    Unten rechts KachelX + 1 50592 KachelY + 1 49058 1.70885460 -1.15726885 97.910156 -66.306621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15723032--1.15726885) × R
    3.85299999998701e-05 × 6371000     		dl = 245.474629999172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15723032--1.15726885) × R
    3.85299999998701e-05 × 6371000     		dr = 245.474629999172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70875872-1.70885460) × cos(-1.15723032) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401877245702886 × 6371000     		do = 245.487310315771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70875872-1.70885460) × cos(-1.15726885) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401841963732069 × 6371000     		du = 245.46575827168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15723032)-sin(-1.15726885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401877245702886-0.401841963732069)×R²
    abs(1.70885460-1.70875872)×3.52819708177576e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.52819708177576e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.52819708177576e-05×40589641000000     		ar = 60258.261436498m²