Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50591 / 49055
↖ ↑ ↗
← S 66.299997°
E 97.904663°		 ← 245.53 m → S 66.299997°
E 97.910156°		 →
↑
245.54 m
↓
↑
245.54 m
↓
S 66.302206°
E 97.904663°		 ← 245.51 m →
60 284 m²		 S 66.302206°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771965026855469 y=0.748527526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771965026855469 × 216)
    floor (0.771965026855469 × 65536)
    floor (50591.5)     		tx = 50591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748527526855469 × 216)
    floor (0.748527526855469 × 65536)
    floor (49055.5)     		ty = 49055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50591 / 49055 ti = "16/50591/49055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50591/49055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50591 ÷ 216
    50591 ÷ 65536     		x = 0.771957397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49055 ÷ 216
    49055 ÷ 65536     		y = 0.748519897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771957397460938 × 2 - 1) × π
    0.543914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70875872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748519897460938 × 2 - 1) × π
    -0.497039794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56149656822371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70875872} λ = 1.70875872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56149656822371))-π/2
    2×atan(0.20982182343921)-π/2
    2×0.206821537247744-π/2
    0.413643074495488-1.57079632675     		φ = -1.15715325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70875872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15715325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.299997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50591 KachelY 49055 1.70875872 -1.15715325 97.904663 -66.299997
    Oben rechts KachelX + 1 50592 KachelY 49055 1.70885460 -1.15715325 97.910156 -66.299997
    Unten links KachelX 50591 KachelY + 1 49056 1.70875872 -1.15719179 97.904663 -66.302206
    Unten rechts KachelX + 1 50592 KachelY + 1 49056 1.70885460 -1.15719179 97.910156 -66.302206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15715325--1.15719179) × R
    3.85400000000313e-05 × 6371000     		dl = 245.5383400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15715325--1.15719179) × R
    3.85400000000313e-05 × 6371000     		dr = 245.5383400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70875872-1.70885460) × cos(-1.15715325) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401947817011262 × 6371000     		do = 245.530418903937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70875872-1.70885460) × cos(-1.15719179) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401912527077093 × 6371000     		du = 245.508861995421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15715325)-sin(-1.15719179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401947817011262-0.401912527077093)×R²
    abs(1.70885460-1.70875872)×3.52899341687363e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.52899341687363e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.52899341687363e-05×40589641000000     		ar = 60284.4849609845m²