Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50589 / 49638
↖ ↑ ↗
← S 67.554754°
E 97.893677°		 ← 233.20 m → S 67.554754°
E 97.899170°		 →
↑
233.18 m
↓
↑
233.18 m
↓
S 67.556851°
E 97.893677°		 ← 233.18 m →
54 375 m²		 S 67.556851°
E 97.899170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771934509277344 y=0.757423400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771934509277344 × 216)
    floor (0.771934509277344 × 65536)
    floor (50589.5)     		tx = 50589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757423400878906 × 216)
    floor (0.757423400878906 × 65536)
    floor (49638.5)     		ty = 49638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50589 / 49638 ti = "16/50589/49638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50589/49638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50589 ÷ 216
    50589 ÷ 65536     		x = 0.771926879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49638 ÷ 216
    49638 ÷ 65536     		y = 0.757415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771926879882812 × 2 - 1) × π
    0.543853759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70856698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.51483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61739099318069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70856698} λ = 1.70856698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61739099318069))-π/2
    2×atan(0.198415692265163)-π/2
    2×0.195871723933007-π/2
    0.391743447866014-1.57079632675     		φ = -1.17905288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70856698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.893677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17905288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.554754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50589 KachelY 49638 1.70856698 -1.17905288 97.893677 -67.554754
    Oben rechts KachelX + 1 50590 KachelY 49638 1.70866285 -1.17905288 97.899170 -67.554754
    Unten links KachelX 50589 KachelY + 1 49639 1.70856698 -1.17908948 97.893677 -67.556851
    Unten rechts KachelX + 1 50590 KachelY + 1 49639 1.70866285 -1.17908948 97.899170 -67.556851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17905288--1.17908948) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dl = 233.178600000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17905288--1.17908948) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dr = 233.178600000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70856698-1.70866285) × cos(-1.17905288) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381800366230746 × 6371000     		do = 233.198994275255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70856698-1.70866285) × cos(-1.17908948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381766538614757 × 6371000     		du = 233.178332781121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17905288)-sin(-1.17908948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381800366230746-0.381766538614757)×R²
    abs(1.70866285-1.70856698)×3.38276159891349e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38276159891349e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38276159891349e-05×40589641000000     		ar = 54374.6061035398m²