Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50588 / 49637
↖ ↑ ↗
← S 67.552656°
E 97.888183°		 ← 233.24 m → S 67.552656°
E 97.893677°		 →
↑
233.24 m
↓
↑
233.24 m
↓
S 67.554754°
E 97.888183°		 ← 233.22 m →
54 400 m²		 S 67.554754°
E 97.893677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771919250488281 y=0.757408142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771919250488281 × 216)
    floor (0.771919250488281 × 65536)
    floor (50588.5)     		tx = 50588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757408142089844 × 216)
    floor (0.757408142089844 × 65536)
    floor (49637.5)     		ty = 49637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50588 / 49637 ti = "16/50588/49637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50588/49637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50588 ÷ 216
    50588 ÷ 65536     		x = 0.77191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49637 ÷ 216
    49637 ÷ 65536     		y = 0.757400512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77191162109375 × 2 - 1) × π
    0.5438232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70847110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757400512695312 × 2 - 1) × π
    -0.514801025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61729511938145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70847110} λ = 1.70847110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61729511938145))-π/2
    2×atan(0.198434716043336)-π/2
    2×0.195890027069798-π/2
    0.391780054139595-1.57079632675     		φ = -1.17901627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70847110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.888183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17901627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.552656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50588 KachelY 49637 1.70847110 -1.17901627 97.888183 -67.552656
    Oben rechts KachelX + 1 50589 KachelY 49637 1.70856698 -1.17901627 97.893677 -67.552656
    Unten links KachelX 50588 KachelY + 1 49638 1.70847110 -1.17905288 97.888183 -67.554754
    Unten rechts KachelX + 1 50589 KachelY + 1 49638 1.70856698 -1.17905288 97.893677 -67.554754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17901627--1.17905288) × R
    3.66099999999925e-05 × 6371000     		dl = 233.242309999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17901627--1.17905288) × R
    3.66099999999925e-05 × 6371000     		dr = 233.242309999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70847110-1.70856698) × cos(-1.17901627) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.381834202577599 × 6371000     		do = 233.243987759533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70847110-1.70856698) × cos(-1.17905288) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.381800366230746 × 6371000     		du = 233.22331877698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17901627)-sin(-1.17905288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381834202577599-0.381800366230746)×R²
    abs(1.70856698-1.70847110)×3.38363468529446e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.38363468529446e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.38363468529446e-05×40589641000000     		ar = 54399.9560638669m²