Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50588 / 49509
↖ ↑ ↗
← S 67.282652°
E 97.888183°		 ← 235.90 m → S 67.282652°
E 97.893677°		 →
↑
235.85 m
↓
↑
235.85 m
↓
S 67.284773°
E 97.888183°		 ← 235.88 m →
55 636 m²		 S 67.284773°
E 97.893677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771919250488281 y=0.755455017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771919250488281 × 216)
    floor (0.771919250488281 × 65536)
    floor (50588.5)     		tx = 50588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755455017089844 × 216)
    floor (0.755455017089844 × 65536)
    floor (49509.5)     		ty = 49509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50588 / 49509 ti = "16/50588/49509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50588/49509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50588 ÷ 216
    50588 ÷ 65536     		x = 0.77191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49509 ÷ 216
    49509 ÷ 65536     		y = 0.755447387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77191162109375 × 2 - 1) × π
    0.5438232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70847110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755447387695312 × 2 - 1) × π
    -0.510894775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60502327307872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70847110} λ = 1.70847110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60502327307872))-π/2
    2×atan(0.200884879646211)-π/2
    2×0.198246260695244-π/2
    0.396492521390488-1.57079632675     		φ = -1.17430381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70847110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.888183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17430381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.282652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50588 KachelY 49509 1.70847110 -1.17430381 97.888183 -67.282652
    Oben rechts KachelX + 1 50589 KachelY 49509 1.70856698 -1.17430381 97.893677 -67.282652
    Unten links KachelX 50588 KachelY + 1 49510 1.70847110 -1.17434083 97.888183 -67.284773
    Unten rechts KachelX + 1 50589 KachelY + 1 49510 1.70856698 -1.17434083 97.893677 -67.284773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17430381--1.17434083) × R
    3.70199999999432e-05 × 6371000     		dl = 235.854419999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17430381--1.17434083) × R
    3.70199999999432e-05 × 6371000     		dr = 235.854419999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70847110-1.70856698) × cos(-1.17430381) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.386185347570226 × 6371000     		do = 235.901891117978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70847110-1.70856698) × cos(-1.17434083) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.386151199272637 × 6371000     		du = 235.881031579857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17430381)-sin(-1.17434083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386185347570226-0.386151199272637)×R²
    abs(1.70856698-1.70847110)×3.41482975885765e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.41482975885765e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.41482975885765e-05×40589641000000     		ar = 55636.0438056067m²