Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50587 / 48421
↖ ↑ ↗
← S 64.860608°
E 97.882691°		 ← 259.48 m → S 64.860608°
E 97.888183°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
S 64.862941°
E 97.882691°		 ← 259.45 m →
67 329 m²		 S 64.862941°
E 97.888183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771903991699219 y=0.738853454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771903991699219 × 216)
    floor (0.771903991699219 × 65536)
    floor (50587.5)     		tx = 50587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738853454589844 × 216)
    floor (0.738853454589844 × 65536)
    floor (48421.5)     		ty = 48421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50587 / 48421 ti = "16/50587/48421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50587/48421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50587 ÷ 216
    50587 ÷ 65536     		x = 0.771896362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48421 ÷ 216
    48421 ÷ 65536     		y = 0.738845825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771896362304688 × 2 - 1) × π
    0.543792724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70837523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738845825195312 × 2 - 1) × π
    -0.477691650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50071257950548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70837523} λ = 1.70837523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50071257950548))-π/2
    2×atan(0.222971218805151)-π/2
    2×0.219382582247077-π/2
    0.438765164494155-1.57079632675     		φ = -1.13203116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70837523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.882691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13203116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.860608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50587 KachelY 48421 1.70837523 -1.13203116 97.882691 -64.860608
    Oben rechts KachelX + 1 50588 KachelY 48421 1.70847110 -1.13203116 97.888183 -64.860608
    Unten links KachelX 50587 KachelY + 1 48422 1.70837523 -1.13207189 97.882691 -64.862941
    Unten rechts KachelX + 1 50588 KachelY + 1 48422 1.70847110 -1.13207189 97.888183 -64.862941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13203116--1.13207189) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13203116--1.13207189) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70837523-1.70847110) × cos(-1.13203116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424821923214823 × 6371000     		do = 259.476035127487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70837523-1.70847110) × cos(-1.13207189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424785050932793 × 6371000     		du = 259.453513988572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13203116)-sin(-1.13207189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424821923214823-0.424785050932793)×R²
    abs(1.70847110-1.70837523)×3.68722820294209e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68722820294209e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68722820294209e-05×40589641000000     		ar = 67328.7297155912m²