Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50586 / 49046
↖ ↑ ↗
← S 66.280118°
E 97.877197°		 ← 245.72 m → S 66.280118°
E 97.882691°		 →
↑
245.67 m
↓
↑
245.67 m
↓
S 66.282327°
E 97.877197°		 ← 245.70 m →
60 363 m²		 S 66.282327°
E 97.882691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771888732910156 y=0.748390197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771888732910156 × 216)
    floor (0.771888732910156 × 65536)
    floor (50586.5)     		tx = 50586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748390197753906 × 216)
    floor (0.748390197753906 × 65536)
    floor (49046.5)     		ty = 49046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50586 / 49046 ti = "16/50586/49046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50586/49046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50586 ÷ 216
    50586 ÷ 65536     		x = 0.771881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49046 ÷ 216
    49046 ÷ 65536     		y = 0.748382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771881103515625 × 2 - 1) × π
    0.54376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70827935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.49676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56063370403055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70827935} λ = 1.70827935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56063370403055))-π/2
    2×atan(0.210002949309876)-π/2
    2×0.206995018957036-π/2
    0.413990037914072-1.57079632675     		φ = -1.15680629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70827935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.877197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15680629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.280118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50586 KachelY 49046 1.70827935 -1.15680629 97.877197 -66.280118
    Oben rechts KachelX + 1 50587 KachelY 49046 1.70837523 -1.15680629 97.882691 -66.280118
    Unten links KachelX 50586 KachelY + 1 49047 1.70827935 -1.15684485 97.877197 -66.282327
    Unten rechts KachelX + 1 50587 KachelY + 1 49047 1.70837523 -1.15684485 97.882691 -66.282327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15680629--1.15684485) × R
    3.85599999999098e-05 × 6371000     		dl = 245.665759999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15680629--1.15684485) × R
    3.85599999999098e-05 × 6371000     		dr = 245.665759999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70827935-1.70837523) × cos(-1.15680629) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.402265491098638 × 6371000     		do = 245.724470590369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70827935-1.70837523) × cos(-1.15684485) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.402230188230367 × 6371000     		du = 245.702905781037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15680629)-sin(-1.15684485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402265491098638-0.402230188230367)×R²
    abs(1.70837523-1.70827935)×3.53028682706369e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.53028682706369e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.53028682706369e-05×40589641000000     		ar = 60363.4399579238m²