Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50586 / 48488
↖ ↑ ↗
← S 65.016506°
E 97.877197°		 ← 258 m → S 65.016506°
E 97.882691°		 →
↑
257.96 m
↓
↑
257.96 m
↓
S 65.018826°
E 97.877197°		 ← 257.98 m →
66 551 m²		 S 65.018826°
E 97.882691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771888732910156 y=0.739875793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771888732910156 × 216)
    floor (0.771888732910156 × 65536)
    floor (50586.5)     		tx = 50586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739875793457031 × 216)
    floor (0.739875793457031 × 65536)
    floor (48488.5)     		ty = 48488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50586 / 48488 ti = "16/50586/48488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50586/48488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50586 ÷ 216
    50586 ÷ 65536     		x = 0.771881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48488 ÷ 216
    48488 ÷ 65536     		y = 0.7398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771881103515625 × 2 - 1) × π
    0.54376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70827935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.479736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50713612405457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70827935} λ = 1.70827935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50713612405457))-π/2
    2×atan(0.221543543524923)-π/2
    2×0.218022112124818-π/2
    0.436044224249635-1.57079632675     		φ = -1.13475210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70827935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.877197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13475210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.016506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50586 KachelY 48488 1.70827935 -1.13475210 97.877197 -65.016506
    Oben rechts KachelX + 1 50587 KachelY 48488 1.70837523 -1.13475210 97.882691 -65.016506
    Unten links KachelX 50586 KachelY + 1 48489 1.70827935 -1.13479259 97.877197 -65.018826
    Unten rechts KachelX + 1 50587 KachelY + 1 48489 1.70837523 -1.13479259 97.882691 -65.018826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13475210--1.13479259) × R
    4.04899999999486e-05 × 6371000     		dl = 257.961789999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13475210--1.13479259) × R
    4.04899999999486e-05 × 6371000     		dr = 257.961789999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70827935-1.70837523) × cos(-1.13475210) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.422357149437254 × 6371000     		do = 257.997489822159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70827935-1.70837523) × cos(-1.13479259) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.422320447760598 × 6371000     		du = 257.975070548655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13475210)-sin(-1.13479259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422357149437254-0.422320447760598)×R²
    abs(1.70837523-1.70827935)×3.67016766562034e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.67016766562034e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.67016766562034e-05×40589641000000     		ar = 66550.6026409643m²