Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50584 / 49304
↖ ↑ ↗
← S 66.843807°
E 97.866211°		 ← 240.19 m → S 66.843807°
E 97.871704°		 →
↑
240.19 m
↓
↑
240.19 m
↓
S 66.845967°
E 97.866211°		 ← 240.16 m →
57 687 m²		 S 66.845967°
E 97.871704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771858215332031 y=0.752326965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771858215332031 × 216)
    floor (0.771858215332031 × 65536)
    floor (50584.5)     		tx = 50584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752326965332031 × 216)
    floor (0.752326965332031 × 65536)
    floor (49304.5)     		ty = 49304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50584 / 49304 ti = "16/50584/49304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50584/49304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50584 ÷ 216
    50584 ÷ 65536     		x = 0.7718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49304 ÷ 216
    49304 ÷ 65536     		y = 0.7523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7718505859375 × 2 - 1) × π
    0.543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70808761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7523193359375 × 2 - 1) × π
    -0.504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5853691442345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70808761} λ = 1.70808761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5853691442345))-π/2
    2×atan(0.204872151782735)-π/2
    2×0.202075901714966-π/2
    0.404151803429932-1.57079632675     		φ = -1.16664452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70808761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16664452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.843807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50584 KachelY 49304 1.70808761 -1.16664452 97.866211 -66.843807
    Oben rechts KachelX + 1 50585 KachelY 49304 1.70818348 -1.16664452 97.871704 -66.843807
    Unten links KachelX 50584 KachelY + 1 49305 1.70808761 -1.16668222 97.866211 -66.845967
    Unten rechts KachelX + 1 50585 KachelY + 1 49305 1.70818348 -1.16668222 97.871704 -66.845967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16664452--1.16668222) × R
    3.77000000000294e-05 × 6371000     		dl = 240.186700000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16664452--1.16668222) × R
    3.77000000000294e-05 × 6371000     		dr = 240.186700000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70808761-1.70818348) × cos(-1.16664452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393239042321398 × 6371000     		do = 240.185597736417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70808761-1.70818348) × cos(-1.16668222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393204379294553 × 6371000     		du = 240.164425983549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16664452)-sin(-1.16668222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393239042321398-0.393204379294553)×R²
    abs(1.70818348-1.70808761)×3.4663026844739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4663026844739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4663026844739e-05×40589641000000     		ar = 57686.8435279074m²