Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50583 / 49081
↖ ↑ ↗
← S 66.357339°
E 97.860718°		 ← 244.97 m → S 66.357339°
E 97.866211°		 →
↑
244.96 m
↓
↑
244.96 m
↓
S 66.359542°
E 97.860718°		 ← 244.95 m →
60 007 m²		 S 66.359542°
E 97.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771842956542969 y=0.748924255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771842956542969 × 216)
    floor (0.771842956542969 × 65536)
    floor (50583.5)     		tx = 50583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748924255371094 × 216)
    floor (0.748924255371094 × 65536)
    floor (49081.5)     		ty = 49081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50583 / 49081 ti = "16/50583/49081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50583/49081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50583 ÷ 216
    50583 ÷ 65536     		x = 0.771835327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49081 ÷ 216
    49081 ÷ 65536     		y = 0.748916625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771835327148438 × 2 - 1) × π
    0.543670654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70799173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748916625976562 × 2 - 1) × π
    -0.497833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56398928700395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70799173} λ = 1.70799173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56398928700395))-π/2
    2×atan(0.209299447977468)-π/2
    2×0.206321137194105-π/2
    0.412642274388211-1.57079632675     		φ = -1.15815405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70799173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.860718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15815405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.357339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50583 KachelY 49081 1.70799173 -1.15815405 97.860718 -66.357339
    Oben rechts KachelX + 1 50584 KachelY 49081 1.70808761 -1.15815405 97.866211 -66.357339
    Unten links KachelX 50583 KachelY + 1 49082 1.70799173 -1.15819250 97.860718 -66.359542
    Unten rechts KachelX + 1 50584 KachelY + 1 49082 1.70808761 -1.15819250 97.866211 -66.359542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15815405--1.15819250) × R
    3.84499999999122e-05 × 6371000     		dl = 244.96494999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15815405--1.15819250) × R
    3.84499999999122e-05 × 6371000     		dr = 244.96494999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70799173-1.70808761) × cos(-1.15815405) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401031220762975 × 6371000     		do = 244.970514729109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70799173-1.70808761) × cos(-1.15819250) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.400995997790885 × 6371000     		du = 244.948998724478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15815405)-sin(-1.15819250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401031220762975-0.400995997790885)×R²
    abs(1.70808761-1.70799173)×3.522297208991e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.522297208991e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.522297208991e-05×40589641000000     		ar = 60006.5545660465m²