Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50583 / 49047
↖ ↑ ↗
← S 66.282327°
E 97.860718°		 ← 245.70 m → S 66.282327°
E 97.866211°		 →
↑
245.73 m
↓
↑
245.73 m
↓
S 66.284537°
E 97.860718°		 ← 245.68 m →
60 374 m²		 S 66.284537°
E 97.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771842956542969 y=0.748405456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771842956542969 × 216)
    floor (0.771842956542969 × 65536)
    floor (50583.5)     		tx = 50583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748405456542969 × 216)
    floor (0.748405456542969 × 65536)
    floor (49047.5)     		ty = 49047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50583 / 49047 ti = "16/50583/49047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50583/49047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50583 ÷ 216
    50583 ÷ 65536     		x = 0.771835327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49047 ÷ 216
    49047 ÷ 65536     		y = 0.748397827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771835327148438 × 2 - 1) × π
    0.543670654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70799173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748397827148438 × 2 - 1) × π
    -0.496795654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56072957782979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70799173} λ = 1.70799173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56072957782979))-π/2
    2×atan(0.209982816494394)-π/2
    2×0.206975736442795-π/2
    0.413951472885589-1.57079632675     		φ = -1.15684485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70799173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.860718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15684485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.282327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50583 KachelY 49047 1.70799173 -1.15684485 97.860718 -66.282327
    Oben rechts KachelX + 1 50584 KachelY 49047 1.70808761 -1.15684485 97.866211 -66.282327
    Unten links KachelX 50583 KachelY + 1 49048 1.70799173 -1.15688342 97.860718 -66.284537
    Unten rechts KachelX + 1 50584 KachelY + 1 49048 1.70808761 -1.15688342 97.866211 -66.284537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15684485--1.15688342) × R
    3.8570000000071e-05 × 6371000     		dl = 245.729470000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15684485--1.15688342) × R
    3.8570000000071e-05 × 6371000     		dr = 245.729470000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70799173-1.70808761) × cos(-1.15684485) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.402230188230367 × 6371000     		do = 245.702905781037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70799173-1.70808761) × cos(-1.15688342) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.40219487560849 × 6371000     		du = 245.681335013701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15684485)-sin(-1.15688342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402230188230367-0.40219487560849)×R²
    abs(1.70808761-1.70799173)×3.53126218771149e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.53126218771149e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.53126218771149e-05×40589641000000     		ar = 60373.7945358961m²