Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50582 / 49583
↖ ↑ ↗
← S 67.439121°
E 97.855225°		 ← 234.34 m → S 67.439121°
E 97.860718°		 →
↑
234.33 m
↓
↑
234.33 m
↓
S 67.441229°
E 97.855225°		 ← 234.32 m →
54 909 m²		 S 67.441229°
E 97.860718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771827697753906 y=0.756584167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771827697753906 × 216)
    floor (0.771827697753906 × 65536)
    floor (50582.5)     		tx = 50582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756584167480469 × 216)
    floor (0.756584167480469 × 65536)
    floor (49583.5)     		ty = 49583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50582 / 49583 ti = "16/50582/49583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50582/49583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50582 ÷ 216
    50582 ÷ 65536     		x = 0.771820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49583 ÷ 216
    49583 ÷ 65536     		y = 0.756576538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771820068359375 × 2 - 1) × π
    0.54364013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70789586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756576538085938 × 2 - 1) × π
    -0.513153076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61211793422249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70789586} λ = 1.70789586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61211793422249))-π/2
    2×atan(0.199464713252787)-π/2
    2×0.196880808111524-π/2
    0.393761616223048-1.57079632675     		φ = -1.17703471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70789586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.855225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17703471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.439121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50582 KachelY 49583 1.70789586 -1.17703471 97.855225 -67.439121
    Oben rechts KachelX + 1 50583 KachelY 49583 1.70799173 -1.17703471 97.860718 -67.439121
    Unten links KachelX 50582 KachelY + 1 49584 1.70789586 -1.17707149 97.855225 -67.441229
    Unten rechts KachelX + 1 50583 KachelY + 1 49584 1.70799173 -1.17707149 97.860718 -67.441229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17703471--1.17707149) × R
    3.67800000000695e-05 × 6371000     		dl = 234.325380000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17703471--1.17707149) × R
    3.67800000000695e-05 × 6371000     		dr = 234.325380000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70789586-1.70799173) × cos(-1.17703471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383664870587198 × 6371000     		do = 234.337810733288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70789586-1.70799173) × cos(-1.17707149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383630905012957 × 6371000     		du = 234.317064975941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17703471)-sin(-1.17707149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383664870587198-0.383630905012957)×R²
    abs(1.70799173-1.70789586)×3.39655742401246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39655742401246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39655742401246e-05×40589641000000     		ar = 54908.8659259264m²