Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50580 / 49045
↖ ↑ ↗
← S 66.277908°
E 97.844238°		 ← 245.75 m → S 66.277908°
E 97.849732°		 →
↑
245.73 m
↓
↑
245.73 m
↓
S 66.280118°
E 97.844238°		 ← 245.72 m →
60 384 m²		 S 66.280118°
E 97.849732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771797180175781 y=0.748374938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771797180175781 × 216)
    floor (0.771797180175781 × 65536)
    floor (50580.5)     		tx = 50580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748374938964844 × 216)
    floor (0.748374938964844 × 65536)
    floor (49045.5)     		ty = 49045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50580 / 49045 ti = "16/50580/49045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50580/49045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50580 ÷ 216
    50580 ÷ 65536     		x = 0.77178955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49045 ÷ 216
    49045 ÷ 65536     		y = 0.748367309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77178955078125 × 2 - 1) × π
    0.5435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70770411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748367309570312 × 2 - 1) × π
    -0.496734619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56053783023131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70770411} λ = 1.70770411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56053783023131))-π/2
    2×atan(0.210023084055659)-π/2
    2×0.207014303163868-π/2
    0.414028606327736-1.57079632675     		φ = -1.15676772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70770411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.844238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15676772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.277908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50580 KachelY 49045 1.70770411 -1.15676772 97.844238 -66.277908
    Oben rechts KachelX + 1 50581 KachelY 49045 1.70779999 -1.15676772 97.849732 -66.277908
    Unten links KachelX 50580 KachelY + 1 49046 1.70770411 -1.15680629 97.844238 -66.280118
    Unten rechts KachelX + 1 50581 KachelY + 1 49046 1.70779999 -1.15680629 97.849732 -66.280118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15676772--1.15680629) × R
    3.8570000000071e-05 × 6371000     		dl = 245.729470000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15676772--1.15680629) × R
    3.8570000000071e-05 × 6371000     		dr = 245.729470000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70770411-1.70779999) × cos(-1.15676772) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.402300802523866 × 6371000     		do = 245.74604062673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70770411-1.70779999) × cos(-1.15680629) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.402265491098638 × 6371000     		du = 245.724470590369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15676772)-sin(-1.15680629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402300802523866-0.402265491098638)×R²
    abs(1.70779999-1.70770411)×3.53114252283904e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.53114252283904e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.53114252283904e-05×40589641000000     		ar = 60384.394128302m²