Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50580 / 48540
↖ ↑ ↗
← S 65.136878°
E 97.844238°		 ← 256.83 m → S 65.136878°
E 97.849732°		 →
↑
256.75 m
↓
↑
256.75 m
↓
S 65.139187°
E 97.844238°		 ← 256.81 m →
65 940 m²		 S 65.139187°
E 97.849732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771797180175781 y=0.740669250488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771797180175781 × 216)
    floor (0.771797180175781 × 65536)
    floor (50580.5)     		tx = 50580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740669250488281 × 216)
    floor (0.740669250488281 × 65536)
    floor (48540.5)     		ty = 48540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50580 / 48540 ti = "16/50580/48540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50580/48540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50580 ÷ 216
    50580 ÷ 65536     		x = 0.77178955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48540 ÷ 216
    48540 ÷ 65536     		y = 0.74066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77178955078125 × 2 - 1) × π
    0.5435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70770411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.4813232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51212156161505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70770411} λ = 1.70770411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51212156161505))-π/2
    2×atan(0.22044180063888)-π/2
    2×0.216971670540403-π/2
    0.433943341080806-1.57079632675     		φ = -1.13685299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70770411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.844238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13685299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.136878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50580 KachelY 48540 1.70770411 -1.13685299 97.844238 -65.136878
    Oben rechts KachelX + 1 50581 KachelY 48540 1.70779999 -1.13685299 97.849732 -65.136878
    Unten links KachelX 50580 KachelY + 1 48541 1.70770411 -1.13689329 97.844238 -65.139187
    Unten rechts KachelX + 1 50581 KachelY + 1 48541 1.70779999 -1.13689329 97.849732 -65.139187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13685299--1.13689329) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dl = 256.751299999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13685299--1.13689329) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dr = 256.751299999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70770411-1.70779999) × cos(-1.13685299) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.420451910079303 × 6371000     		do = 256.833671540601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70770411-1.70779999) × cos(-1.13689329) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.420415344950448 × 6371000     		du = 256.811335677523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13685299)-sin(-1.13689329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420451910079303-0.420415344950448)×R²
    abs(1.70779999-1.70770411)×3.65651288556368e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65651288556368e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65651288556368e-05×40589641000000     		ar = 65939.5116800725m²