Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50579 / 49131
↖ ↑ ↗
← S 66.467244°
E 97.838745°		 ← 243.87 m → S 66.467244°
E 97.844238°		 →
↑
243.82 m
↓
↑
243.82 m
↓
S 66.469437°
E 97.838745°		 ← 243.85 m →
59 458 m²		 S 66.469437°
E 97.844238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771781921386719 y=0.749687194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771781921386719 × 216)
    floor (0.771781921386719 × 65536)
    floor (50579.5)     		tx = 50579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749687194824219 × 216)
    floor (0.749687194824219 × 65536)
    floor (49131.5)     		ty = 49131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50579 / 49131 ti = "16/50579/49131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50579/49131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50579 ÷ 216
    50579 ÷ 65536     		x = 0.771774291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49131 ÷ 216
    49131 ÷ 65536     		y = 0.749679565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771774291992188 × 2 - 1) × π
    0.543548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70760824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749679565429688 × 2 - 1) × π
    -0.499359130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56878297696596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70760824} λ = 1.70760824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56878297696596))-π/2
    2×atan(0.20829853227114)-π/2
    2×0.205362035527363-π/2
    0.410724071054727-1.57079632675     		φ = -1.16007226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70760824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.838745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16007226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.467244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50579 KachelY 49131 1.70760824 -1.16007226 97.838745 -66.467244
    Oben rechts KachelX + 1 50580 KachelY 49131 1.70770411 -1.16007226 97.844238 -66.467244
    Unten links KachelX 50579 KachelY + 1 49132 1.70760824 -1.16011053 97.838745 -66.469437
    Unten rechts KachelX + 1 50580 KachelY + 1 49132 1.70770411 -1.16011053 97.844238 -66.469437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16007226--1.16011053) × R
    3.82700000001179e-05 × 6371000     		dl = 243.818170000751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16007226--1.16011053) × R
    3.82700000001179e-05 × 6371000     		dr = 243.818170000751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70760824-1.70770411) × cos(-1.16007226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399273280171114 × 6371000     		do = 243.871236416294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70760824-1.70770411) × cos(-1.16011053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399238192719525 × 6371000     		du = 243.849805429984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16007226)-sin(-1.16011053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399273280171114-0.399238192719525)×R²
    abs(1.70770411-1.70760824)×3.50874515886446e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50874515886446e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50874515886446e-05×40589641000000     		ar = 59457.6259543704m²