Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50579 / 48527
↖ ↑ ↗
← S 65.106836°
E 97.838745°		 ← 257.10 m → S 65.106836°
E 97.844238°		 →
↑
257.07 m
↓
↑
257.07 m
↓
S 65.109148°
E 97.838745°		 ← 257.08 m →
66 089 m²		 S 65.109148°
E 97.844238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771781921386719 y=0.740470886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771781921386719 × 216)
    floor (0.771781921386719 × 65536)
    floor (50579.5)     		tx = 50579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740470886230469 × 216)
    floor (0.740470886230469 × 65536)
    floor (48527.5)     		ty = 48527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50579 / 48527 ti = "16/50579/48527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50579/48527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50579 ÷ 216
    50579 ÷ 65536     		x = 0.771774291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48527 ÷ 216
    48527 ÷ 65536     		y = 0.740463256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771774291992188 × 2 - 1) × π
    0.543548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70760824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740463256835938 × 2 - 1) × π
    -0.480926513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51087520222493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70760824} λ = 1.70760824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51087520222493))-π/2
    2×atan(0.220716721636677)-π/2
    2×0.217233835829541-π/2
    0.434467671659081-1.57079632675     		φ = -1.13632866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70760824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.838745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13632866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.106836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50579 KachelY 48527 1.70760824 -1.13632866 97.838745 -65.106836
    Oben rechts KachelX + 1 50580 KachelY 48527 1.70770411 -1.13632866 97.844238 -65.106836
    Unten links KachelX 50579 KachelY + 1 48528 1.70760824 -1.13636901 97.838745 -65.109148
    Unten rechts KachelX + 1 50580 KachelY + 1 48528 1.70770411 -1.13636901 97.844238 -65.109148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13632866--1.13636901) × R
    4.03499999999113e-05 × 6371000     		dl = 257.069849999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13632866--1.13636901) × R
    4.03499999999113e-05 × 6371000     		dr = 257.069849999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70760824-1.70770411) × cos(-1.13632866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420927584643867 × 6371000     		do = 257.097420756108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70760824-1.70770411) × cos(-1.13636901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420890983048449 × 6371000     		du = 257.075064949264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13632866)-sin(-1.13636901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420927584643867-0.420890983048449)×R²
    abs(1.70770411-1.70760824)×3.66015954181842e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66015954181842e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66015954181842e-05×40589641000000     		ar = 66089.121896005m²