Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50579 / 48447
↖ ↑ ↗
← S 64.921214°
E 97.838745°		 ← 258.89 m → S 64.921214°
E 97.844238°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
S 64.923542°
E 97.838745°		 ← 258.87 m →
67 028 m²		 S 64.923542°
E 97.844238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771781921386719 y=0.739250183105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771781921386719 × 216)
    floor (0.771781921386719 × 65536)
    floor (50579.5)     		tx = 50579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739250183105469 × 216)
    floor (0.739250183105469 × 65536)
    floor (48447.5)     		ty = 48447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50579 / 48447 ti = "16/50579/48447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50579/48447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50579 ÷ 216
    50579 ÷ 65536     		x = 0.771774291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48447 ÷ 216
    48447 ÷ 65536     		y = 0.739242553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771774291992188 × 2 - 1) × π
    0.543548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70760824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739242553710938 × 2 - 1) × π
    -0.478485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50320529828572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70760824} λ = 1.70760824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50320529828572))-π/2
    2×atan(0.222416106417558)-π/2
    2×0.2188536985195-π/2
    0.437707397039-1.57079632675     		φ = -1.13308893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70760824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.838745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13308893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.921214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50579 KachelY 48447 1.70760824 -1.13308893 97.838745 -64.921214
    Oben rechts KachelX + 1 50580 KachelY 48447 1.70770411 -1.13308893 97.844238 -64.921214
    Unten links KachelX 50579 KachelY + 1 48448 1.70760824 -1.13312957 97.838745 -64.923542
    Unten rechts KachelX + 1 50580 KachelY + 1 48448 1.70770411 -1.13312957 97.844238 -64.923542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13308893--1.13312957) × R
    4.06399999999252e-05 × 6371000     		dl = 258.917439999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13308893--1.13312957) × R
    4.06399999999252e-05 × 6371000     		dr = 258.917439999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70760824-1.70770411) × cos(-1.13308893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423864110945423 × 6371000     		do = 258.891015107382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70760824-1.70770411) × cos(-1.13312957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423827301899101 × 6371000     		du = 258.868532592063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13308893)-sin(-1.13312957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423864110945423-0.423827301899101)×R²
    abs(1.70770411-1.70760824)×3.68090463214177e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68090463214177e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68090463214177e-05×40589641000000     		ar = 67028.4883218841m²