Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50578 / 49070
↖ ↑ ↗
← S 66.333096°
E 97.833252°		 ← 245.21 m → S 66.333096°
E 97.838745°		 →
↑
245.16 m
↓
↑
245.16 m
↓
S 66.335300°
E 97.833252°		 ← 245.19 m →
60 111 m²		 S 66.335300°
E 97.838745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771766662597656 y=0.748756408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771766662597656 × 216)
    floor (0.771766662597656 × 65536)
    floor (50578.5)     		tx = 50578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748756408691406 × 216)
    floor (0.748756408691406 × 65536)
    floor (49070.5)     		ty = 49070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50578 / 49070 ti = "16/50578/49070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50578/49070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50578 ÷ 216
    50578 ÷ 65536     		x = 0.771759033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49070 ÷ 216
    49070 ÷ 65536     		y = 0.748748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771759033203125 × 2 - 1) × π
    0.54351806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70751236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.49749755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56293467521231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70751236} λ = 1.70751236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56293467521231))-π/2
    2×atan(0.20952029407627)-π/2
    2×0.206532705494549-π/2
    0.413065410989097-1.57079632675     		φ = -1.15773092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70751236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.833252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15773092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.333096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50578 KachelY 49070 1.70751236 -1.15773092 97.833252 -66.333096
    Oben rechts KachelX + 1 50579 KachelY 49070 1.70760824 -1.15773092 97.838745 -66.333096
    Unten links KachelX 50578 KachelY + 1 49071 1.70751236 -1.15776940 97.833252 -66.335300
    Unten rechts KachelX + 1 50579 KachelY + 1 49071 1.70760824 -1.15776940 97.838745 -66.335300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15773092--1.15776940) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dl = 245.156079999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15773092--1.15776940) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dr = 245.156079999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70751236-1.70760824) × cos(-1.15773092) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.401418799175099 × 6371000     		do = 245.207267576339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70751236-1.70760824) × cos(-1.15776940) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.401383555253091 × 6371000     		du = 245.185738774419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15773092)-sin(-1.15776940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401418799175099-0.401383555253091)×R²
    abs(1.70760824-1.70751236)×3.52439220084877e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.52439220084877e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.52439220084877e-05×40589641000000     		ar = 60111.4135554723m²