Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50577 / 48536
↖ ↑ ↗
← S 65.127638°
E 97.827759°		 ← 256.90 m → S 65.127638°
E 97.833252°		 →
↑
256.88 m
↓
↑
256.88 m
↓
S 65.129948°
E 97.827759°		 ← 256.87 m →
65 988 m²		 S 65.129948°
E 97.833252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771751403808594 y=0.740608215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771751403808594 × 216)
    floor (0.771751403808594 × 65536)
    floor (50577.5)     		tx = 50577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740608215332031 × 216)
    floor (0.740608215332031 × 65536)
    floor (48536.5)     		ty = 48536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50577 / 48536 ti = "16/50577/48536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50577/48536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50577 ÷ 216
    50577 ÷ 65536     		x = 0.771743774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48536 ÷ 216
    48536 ÷ 65536     		y = 0.7406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771743774414062 × 2 - 1) × π
    0.543487548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70741649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51173806641809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70741649} λ = 1.70741649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51173806641809))-π/2
    2×atan(0.220526355222737)-π/2
    2×0.217052305212472-π/2
    0.434104610424945-1.57079632675     		φ = -1.13669172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70741649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.827759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13669172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.127638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50577 KachelY 48536 1.70741649 -1.13669172 97.827759 -65.127638
    Oben rechts KachelX + 1 50578 KachelY 48536 1.70751236 -1.13669172 97.833252 -65.127638
    Unten links KachelX 50577 KachelY + 1 48537 1.70741649 -1.13673204 97.827759 -65.129948
    Unten rechts KachelX + 1 50578 KachelY + 1 48537 1.70751236 -1.13673204 97.833252 -65.129948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13669172--1.13673204) × R
    4.03200000000936e-05 × 6371000     		dl = 256.878720000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13669172--1.13673204) × R
    4.03200000000936e-05 × 6371000     		dr = 256.878720000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70741649-1.70751236) × cos(-1.13669172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420598227272906 × 6371000     		do = 256.896253301966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70741649-1.70751236) × cos(-1.13673204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420561646731721 × 6371000     		du = 256.87391035479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13669172)-sin(-1.13673204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420598227272906-0.420561646731721)×R²
    abs(1.70751236-1.70741649)×3.65805411851605e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65805411851605e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65805411851605e-05×40589641000000     		ar = 65988.3110164616m²