Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50576 / 49070
↖ ↑ ↗
← S 66.333096°
E 97.822266°		 ← 245.18 m → S 66.333096°
E 97.827759°		 →
↑
245.16 m
↓
↑
245.16 m
↓
S 66.335300°
E 97.822266°		 ← 245.16 m →
60 105 m²		 S 66.335300°
E 97.827759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771736145019531 y=0.748756408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771736145019531 × 216)
    floor (0.771736145019531 × 65536)
    floor (50576.5)     		tx = 50576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748756408691406 × 216)
    floor (0.748756408691406 × 65536)
    floor (49070.5)     		ty = 49070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50576 / 49070 ti = "16/50576/49070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50576/49070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50576 ÷ 216
    50576 ÷ 65536     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49070 ÷ 216
    49070 ÷ 65536     		y = 0.748748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.49749755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56293467521231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56293467521231))-π/2
    2×atan(0.20952029407627)-π/2
    2×0.206532705494549-π/2
    0.413065410989097-1.57079632675     		φ = -1.15773092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15773092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.333096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50576 KachelY 49070 1.70732062 -1.15773092 97.822266 -66.333096
    Oben rechts KachelX + 1 50577 KachelY 49070 1.70741649 -1.15773092 97.827759 -66.333096
    Unten links KachelX 50576 KachelY + 1 49071 1.70732062 -1.15776940 97.822266 -66.335300
    Unten rechts KachelX + 1 50577 KachelY + 1 49071 1.70741649 -1.15776940 97.827759 -66.335300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15773092--1.15776940) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dl = 245.156079999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15773092--1.15776940) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dr = 245.156079999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70741649) × cos(-1.15773092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401418799175099 × 6371000     		do = 245.181693184231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70741649) × cos(-1.15776940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401383555253091 × 6371000     		du = 245.160166627702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15773092)-sin(-1.15776940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401418799175099-0.401383555253091)×R²
    abs(1.70741649-1.70732062)×3.52439220084877e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52439220084877e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52439220084877e-05×40589641000000     		ar = 60105.1441129895m²