Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50575 / 48977
↖ ↑ ↗
← S 66.127185°
E 97.816772°		 ← 247.22 m → S 66.127185°
E 97.822266°		 →
↑
247.19 m
↓
↑
247.19 m
↓
S 66.129408°
E 97.816772°		 ← 247.19 m →
61 108 m²		 S 66.129408°
E 97.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771720886230469 y=0.747337341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771720886230469 × 216)
    floor (0.771720886230469 × 65536)
    floor (50575.5)     		tx = 50575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747337341308594 × 216)
    floor (0.747337341308594 × 65536)
    floor (48977.5)     		ty = 48977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50575 / 48977 ti = "16/50575/48977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50575/48977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50575 ÷ 216
    50575 ÷ 65536     		x = 0.771713256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48977 ÷ 216
    48977 ÷ 65536     		y = 0.747329711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771713256835938 × 2 - 1) × π
    0.543426513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70722474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747329711914062 × 2 - 1) × π
    -0.494659423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55401841188298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70722474} λ = 1.70722474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55401841188298))-π/2
    2×atan(0.211396785404803)-π/2
    2×0.20832960660906-π/2
    0.41665921321812-1.57079632675     		φ = -1.15413711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70722474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.816772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15413711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.127185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50575 KachelY 48977 1.70722474 -1.15413711 97.816772 -66.127185
    Oben rechts KachelX + 1 50576 KachelY 48977 1.70732062 -1.15413711 97.822266 -66.127185
    Unten links KachelX 50575 KachelY + 1 48978 1.70722474 -1.15417591 97.816772 -66.129408
    Unten rechts KachelX + 1 50576 KachelY + 1 48978 1.70732062 -1.15417591 97.822266 -66.129408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15413711--1.15417591) × R
    3.88000000000055e-05 × 6371000     		dl = 247.194800000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15413711--1.15417591) × R
    3.88000000000055e-05 × 6371000     		dr = 247.194800000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70722474-1.70732062) × cos(-1.15413711) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.404707751066307 × 6371000     		do = 247.216328706163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70722474-1.70732062) × cos(-1.15417591) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.404672270253716 × 6371000     		du = 247.194655199281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15413711)-sin(-1.15417591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404707751066307-0.404672270253716)×R²
    abs(1.70732062-1.70722474)×3.54808125903605e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.54808125903605e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.54808125903605e-05×40589641000000     		ar = 61107.9121500107m²