Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50573 / 49538
↖ ↑ ↗
← S 67.344093°
E 97.805786°		 ← 235.27 m → S 67.344093°
E 97.811279°		 →
↑
235.22 m
↓
↑
235.22 m
↓
S 67.346209°
E 97.805786°		 ← 235.25 m →
55 338 m²		 S 67.346209°
E 97.811279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771690368652344 y=0.755897521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771690368652344 × 216)
    floor (0.771690368652344 × 65536)
    floor (50573.5)     		tx = 50573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755897521972656 × 216)
    floor (0.755897521972656 × 65536)
    floor (49538.5)     		ty = 49538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50573 / 49538 ti = "16/50573/49538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50573/49538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50573 ÷ 216
    50573 ÷ 65536     		x = 0.771682739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49538 ÷ 216
    49538 ÷ 65536     		y = 0.755889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771682739257812 × 2 - 1) × π
    0.543365478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70703300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755889892578125 × 2 - 1) × π
    -0.51177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60780361325668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70703300} λ = 1.70703300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60780361325668))-π/2
    2×atan(0.200327127074427)-π/2
    2×0.197710085316881-π/2
    0.395420170633762-1.57079632675     		φ = -1.17537616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70703300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.805786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17537616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.344093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50573 KachelY 49538 1.70703300 -1.17537616 97.805786 -67.344093
    Oben rechts KachelX + 1 50574 KachelY 49538 1.70712887 -1.17537616 97.811279 -67.344093
    Unten links KachelX 50573 KachelY + 1 49539 1.70703300 -1.17541308 97.805786 -67.346209
    Unten rechts KachelX + 1 50574 KachelY + 1 49539 1.70712887 -1.17541308 97.811279 -67.346209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17537616--1.17541308) × R
    3.69200000001069e-05 × 6371000     		dl = 235.217320000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17537616--1.17541308) × R
    3.69200000001069e-05 × 6371000     		dr = 235.217320000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70703300-1.70712887) × cos(-1.17537616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.385195967337939 × 6371000     		do = 235.272985903327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70703300-1.70712887) × cos(-1.17541308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38516189601463 × 6371000     		du = 235.252175555743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17537616)-sin(-1.17541308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385195967337939-0.38516189601463)×R²
    abs(1.70712887-1.70703300)×3.40713233091816e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.40713233091816e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.40713233091816e-05×40589641000000     		ar = 55337.8337417294m²