Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50569 / 49065
↖ ↑ ↗
← S 66.322068°
E 97.783813°		 ← 245.29 m → S 66.322068°
E 97.789306°		 →
↑
245.28 m
↓
↑
245.28 m
↓
S 66.324274°
E 97.783813°		 ← 245.27 m →
60 163 m²		 S 66.324274°
E 97.789306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771629333496094 y=0.748680114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771629333496094 × 216)
    floor (0.771629333496094 × 65536)
    floor (50569.5)     		tx = 50569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748680114746094 × 216)
    floor (0.748680114746094 × 65536)
    floor (49065.5)     		ty = 49065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50569 / 49065 ti = "16/50569/49065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50569/49065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50569 ÷ 216
    50569 ÷ 65536     		x = 0.771621704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49065 ÷ 216
    49065 ÷ 65536     		y = 0.748672485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771621704101562 × 2 - 1) × π
    0.543243408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70664950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748672485351562 × 2 - 1) × π
    -0.497344970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56245530621611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70664950} λ = 1.70664950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56245530621611))-π/2
    2×atan(0.209620755686492)-π/2
    2×0.206628940482795-π/2
    0.41325788096559-1.57079632675     		φ = -1.15753845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70664950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.783813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15753845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.322068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50569 KachelY 49065 1.70664950 -1.15753845 97.783813 -66.322068
    Oben rechts KachelX + 1 50570 KachelY 49065 1.70674537 -1.15753845 97.789306 -66.322068
    Unten links KachelX 50569 KachelY + 1 49066 1.70664950 -1.15757695 97.783813 -66.324274
    Unten rechts KachelX + 1 50570 KachelY + 1 49066 1.70674537 -1.15757695 97.789306 -66.324274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15753845--1.15757695) × R
    3.84999999998303e-05 × 6371000     		dl = 245.283499998919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15753845--1.15757695) × R
    3.84999999998303e-05 × 6371000     		dr = 245.283499998919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70664950-1.70674537) × cos(-1.15753845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401595073975538 × 6371000     		do = 245.289359676499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70664950-1.70674537) × cos(-1.15757695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401559814710403 × 6371000     		du = 245.267823748575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15753845)-sin(-1.15757695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401595073975538-0.401559814710403)×R²
    abs(1.70674537-1.70664950)×3.52592651358119e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52592651358119e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52592651358119e-05×40589641000000     		ar = 60162.7914571645m²