Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50568 / 49032
↖ ↑ ↗
← S 66.249163°
E 97.778321°		 ← 246 m → S 66.249163°
E 97.783813°		 →
↑
246.05 m
↓
↑
246.05 m
↓
S 66.251376°
E 97.778321°		 ← 245.98 m →
60 525 m²		 S 66.251376°
E 97.783813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771614074707031 y=0.748176574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771614074707031 × 216)
    floor (0.771614074707031 × 65536)
    floor (50568.5)     		tx = 50568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748176574707031 × 216)
    floor (0.748176574707031 × 65536)
    floor (49032.5)     		ty = 49032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50568 / 49032 ti = "16/50568/49032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50568/49032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50568 ÷ 216
    50568 ÷ 65536     		x = 0.7716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49032 ÷ 216
    49032 ÷ 65536     		y = 0.7481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7716064453125 × 2 - 1) × π
    0.543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70655363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55929147084119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70655363} λ = 1.70655363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55929147084119))-π/2
    2×atan(0.210285011492568)-π/2
    2×0.207265151932982-π/2
    0.414530303865965-1.57079632675     		φ = -1.15626602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70655363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.778321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15626602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.249163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50568 KachelY 49032 1.70655363 -1.15626602 97.778321 -66.249163
    Oben rechts KachelX + 1 50569 KachelY 49032 1.70664950 -1.15626602 97.783813 -66.249163
    Unten links KachelX 50568 KachelY + 1 49033 1.70655363 -1.15630464 97.778321 -66.251376
    Unten rechts KachelX + 1 50569 KachelY + 1 49033 1.70664950 -1.15630464 97.783813 -66.251376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15626602--1.15630464) × R
    3.86200000002113e-05 × 6371000     		dl = 246.048020001346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15626602--1.15630464) × R
    3.86200000002113e-05 × 6371000     		dr = 246.048020001346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70655363-1.70664950) × cos(-1.15626602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402760062009607 × 6371000     		do = 246.000920119904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70655363-1.70664950) × cos(-1.15630464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402724712607173 × 6371000     		du = 245.979329137221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15626602)-sin(-1.15630464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402760062009607-0.402724712607173)×R²
    abs(1.70664950-1.70655363)×3.53494024339929e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53494024339929e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53494024339929e-05×40589641000000     		ar = 60525.383112558m²