Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50567 / 49031
↖ ↑ ↗
← S 66.246951°
E 97.772827°		 ← 246.05 m → S 66.246951°
E 97.778321°		 →
↑
245.98 m
↓
↑
245.98 m
↓
S 66.249163°
E 97.772827°		 ← 246.03 m →
60 521 m²		 S 66.249163°
E 97.778321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771598815917969 y=0.748161315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771598815917969 × 216)
    floor (0.771598815917969 × 65536)
    floor (50567.5)     		tx = 50567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748161315917969 × 216)
    floor (0.748161315917969 × 65536)
    floor (49031.5)     		ty = 49031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50567 / 49031 ti = "16/50567/49031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50567/49031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50567 ÷ 216
    50567 ÷ 65536     		x = 0.771591186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49031 ÷ 216
    49031 ÷ 65536     		y = 0.748153686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771591186523438 × 2 - 1) × π
    0.543182373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70645775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748153686523438 × 2 - 1) × π
    -0.496307373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55919559704195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70645775} λ = 1.70645775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55919559704195))-π/2
    2×atan(0.210305173282021)-π/2
    2×0.207284459848672-π/2
    0.414568919697344-1.57079632675     		φ = -1.15622741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70645775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.772827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15622741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.246951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50567 KachelY 49031 1.70645775 -1.15622741 97.772827 -66.246951
    Oben rechts KachelX + 1 50568 KachelY 49031 1.70655363 -1.15622741 97.778321 -66.246951
    Unten links KachelX 50567 KachelY + 1 49032 1.70645775 -1.15626602 97.772827 -66.249163
    Unten rechts KachelX + 1 50568 KachelY + 1 49032 1.70655363 -1.15626602 97.778321 -66.249163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15622741--1.15626602) × R
    3.86099999998279e-05 × 6371000     		dl = 245.984309998904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15622741--1.15626602) × R
    3.86099999998279e-05 × 6371000     		dr = 245.984309998904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70645775-1.70655363) × cos(-1.15622741) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.402795401658421 × 6371000     		do = 246.04816724008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70645775-1.70655363) × cos(-1.15626602) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.402760062009607 × 6371000     		du = 246.026579963299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15622741)-sin(-1.15626602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402795401658421-0.402760062009607)×R²
    abs(1.70655363-1.70645775)×3.53396488148028e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.53396488148028e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.53396488148028e-05×40589641000000     		ar = 60521.3335867435m²