Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50566 / 49272
↖ ↑ ↗
← S 66.774586°
E 97.767334°		 ← 240.86 m → S 66.774586°
E 97.772827°		 →
↑
240.82 m
↓
↑
240.82 m
↓
S 66.776752°
E 97.767334°		 ← 240.84 m →
58 003 m²		 S 66.776752°
E 97.772827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771583557128906 y=0.751838684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771583557128906 × 216)
    floor (0.771583557128906 × 65536)
    floor (50566.5)     		tx = 50566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751838684082031 × 216)
    floor (0.751838684082031 × 65536)
    floor (49272.5)     		ty = 49272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50566 / 49272 ti = "16/50566/49272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50566/49272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50566 ÷ 216
    50566 ÷ 65536     		x = 0.771575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49272 ÷ 216
    49272 ÷ 65536     		y = 0.7518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771575927734375 × 2 - 1) × π
    0.54315185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70636188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58230118265881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70636188} λ = 1.70636188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58230118265881))-π/2
    2×atan(0.205501656827214)-π/2
    2×0.202679974281468-π/2
    0.405359948562936-1.57079632675     		φ = -1.16543638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70636188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.767334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16543638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.774586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50566 KachelY 49272 1.70636188 -1.16543638 97.767334 -66.774586
    Oben rechts KachelX + 1 50567 KachelY 49272 1.70645775 -1.16543638 97.772827 -66.774586
    Unten links KachelX 50566 KachelY + 1 49273 1.70636188 -1.16547418 97.767334 -66.776752
    Unten rechts KachelX + 1 50567 KachelY + 1 49273 1.70645775 -1.16547418 97.772827 -66.776752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16543638--1.16547418) × R
    3.77999999998657e-05 × 6371000     		dl = 240.823799999144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16543638--1.16547418) × R
    3.77999999998657e-05 × 6371000     		dr = 240.823799999144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70636188-1.70645775) × cos(-1.16543638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394349562800809 × 6371000     		do = 240.863890063576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70636188-1.70645775) × cos(-1.16547418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394314825811739 × 6371000     		du = 240.842673135485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16543638)-sin(-1.16547418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394349562800809-0.394314825811739)×R²
    abs(1.70645775-1.70636188)×3.47369890703053e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47369890703053e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47369890703053e-05×40589641000000     		ar = 58003.2025240314m²