Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50566 / 49030
↖ ↑ ↗
← S 66.244738°
E 97.767334°		 ← 246.04 m → S 66.244738°
E 97.772827°		 →
↑
246.05 m
↓
↑
246.05 m
↓
S 66.246951°
E 97.767334°		 ← 246.02 m →
60 536 m²		 S 66.246951°
E 97.772827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771583557128906 y=0.748146057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771583557128906 × 216)
    floor (0.771583557128906 × 65536)
    floor (50566.5)     		tx = 50566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748146057128906 × 216)
    floor (0.748146057128906 × 65536)
    floor (49030.5)     		ty = 49030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50566 / 49030 ti = "16/50566/49030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50566/49030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50566 ÷ 216
    50566 ÷ 65536     		x = 0.771575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49030 ÷ 216
    49030 ÷ 65536     		y = 0.748138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771575927734375 × 2 - 1) × π
    0.54315185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70636188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748138427734375 × 2 - 1) × π
    -0.49627685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55909972324271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70636188} λ = 1.70636188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55909972324271))-π/2
    2×atan(0.210325337004555)-π/2
    2×0.20730376945875-π/2
    0.414607538917501-1.57079632675     		φ = -1.15618879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70636188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.767334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15618879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.244738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50566 KachelY 49030 1.70636188 -1.15618879 97.767334 -66.244738
    Oben rechts KachelX + 1 50567 KachelY 49030 1.70645775 -1.15618879 97.772827 -66.244738
    Unten links KachelX 50566 KachelY + 1 49031 1.70636188 -1.15622741 97.767334 -66.246951
    Unten rechts KachelX + 1 50567 KachelY + 1 49031 1.70645775 -1.15622741 97.772827 -66.246951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15618879--1.15622741) × R
    3.86199999999892e-05 × 6371000     		dl = 246.048019999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15618879--1.15622741) × R
    3.86199999999892e-05 × 6371000     		dr = 246.048019999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70636188-1.70645775) × cos(-1.15618879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402830749859521 × 6371000     		do = 246.044095394119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70636188-1.70645775) × cos(-1.15622741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402795401658421 × 6371000     		du = 246.022505145196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15618879)-sin(-1.15622741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402830749859521-0.402795401658421)×R²
    abs(1.70645775-1.70636188)×3.53482010997941e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53482010997941e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53482010997941e-05×40589641000000     		ar = 60536.0063928999m²