Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50565 / 49028
↖ ↑ ↗
← S 66.240312°
E 97.761841°		 ← 246.09 m → S 66.240312°
E 97.767334°		 →
↑
246.11 m
↓
↑
246.11 m
↓
S 66.242525°
E 97.761841°		 ← 246.07 m →
60 562 m²		 S 66.242525°
E 97.767334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771568298339844 y=0.748115539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771568298339844 × 216)
    floor (0.771568298339844 × 65536)
    floor (50565.5)     		tx = 50565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748115539550781 × 216)
    floor (0.748115539550781 × 65536)
    floor (49028.5)     		ty = 49028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50565 / 49028 ti = "16/50565/49028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50565/49028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50565 ÷ 216
    50565 ÷ 65536     		x = 0.771560668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49028 ÷ 216
    49028 ÷ 65536     		y = 0.74810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771560668945312 × 2 - 1) × π
    0.543121337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70626601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.4962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55890797564423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70626601} λ = 1.70626601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55890797564423))-π/2
    2×atan(0.210365670249603)-π/2
    2×0.207342393762554-π/2
    0.414684787525108-1.57079632675     		φ = -1.15611154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70626601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.761841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15611154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.240312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50565 KachelY 49028 1.70626601 -1.15611154 97.761841 -66.240312
    Oben rechts KachelX + 1 50566 KachelY 49028 1.70636188 -1.15611154 97.767334 -66.240312
    Unten links KachelX 50565 KachelY + 1 49029 1.70626601 -1.15615017 97.761841 -66.242525
    Unten rechts KachelX + 1 50566 KachelY + 1 49029 1.70636188 -1.15615017 97.767334 -66.242525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15611154--1.15615017) × R
    3.86300000001505e-05 × 6371000     		dl = 246.111730000959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15611154--1.15615017) × R
    3.86300000001505e-05 × 6371000     		dr = 246.111730000959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70626601-1.70636188) × cos(-1.15611154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40290145361163 × 6371000     		do = 246.087280381201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70626601-1.70636188) × cos(-1.15615017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402866097459797 × 6371000     		du = 246.065685276067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15611154)-sin(-1.15615017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40290145361163-0.402866097459797)×R²
    abs(1.70636188-1.70626601)×3.53561518332546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53561518332546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53561518332546e-05×40589641000000     		ar = 60562.3089092499m²