Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50563 / 49283
↖ ↑ ↗
← S 66.798403°
E 97.750855°		 ← 240.63 m → S 66.798403°
E 97.756348°		 →
↑
240.63 m
↓
↑
240.63 m
↓
S 66.800567°
E 97.750855°		 ← 240.61 m →
57 901 m²		 S 66.800567°
E 97.756348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771537780761719 y=0.752006530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771537780761719 × 216)
    floor (0.771537780761719 × 65536)
    floor (50563.5)     		tx = 50563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752006530761719 × 216)
    floor (0.752006530761719 × 65536)
    floor (49283.5)     		ty = 49283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50563 / 49283 ti = "16/50563/49283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50563/49283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50563 ÷ 216
    50563 ÷ 65536     		x = 0.771530151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49283 ÷ 216
    49283 ÷ 65536     		y = 0.751998901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771530151367188 × 2 - 1) × π
    0.543060302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70607426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751998901367188 × 2 - 1) × π
    -0.503997802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58335579445045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70607426} λ = 1.70607426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58335579445045))-π/2
    2×atan(0.205285046596651)-π/2
    2×0.202472132168128-π/2
    0.404944264336255-1.57079632675     		φ = -1.16585206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70607426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.750855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16585206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.798403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50563 KachelY 49283 1.70607426 -1.16585206 97.750855 -66.798403
    Oben rechts KachelX + 1 50564 KachelY 49283 1.70617013 -1.16585206 97.756348 -66.798403
    Unten links KachelX 50563 KachelY + 1 49284 1.70607426 -1.16588983 97.750855 -66.800567
    Unten rechts KachelX + 1 50564 KachelY + 1 49284 1.70617013 -1.16588983 97.756348 -66.800567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16585206--1.16588983) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dl = 240.632670000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16585206--1.16588983) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dr = 240.632670000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70607426-1.70617013) × cos(-1.16585206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393967535236446 × 6371000     		do = 240.63055229946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70607426-1.70617013) × cos(-1.16588983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393932819628529 × 6371000     		du = 240.609348430716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16585206)-sin(-1.16588983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393967535236446-0.393932819628529)×R²
    abs(1.70617013-1.70607426)×3.4715607917013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4715607917013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4715607917013e-05×40589641000000     		ar = 57901.0211187051m²