Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50561 / 49023
↖ ↑ ↗
← S 66.229243°
E 97.739868°		 ← 246.20 m → S 66.229243°
E 97.745361°		 →
↑
246.18 m
↓
↑
246.18 m
↓
S 66.231457°
E 97.739868°		 ← 246.17 m →
60 605 m²		 S 66.231457°
E 97.745361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771507263183594 y=0.748039245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771507263183594 × 216)
    floor (0.771507263183594 × 65536)
    floor (50561.5)     		tx = 50561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748039245605469 × 216)
    floor (0.748039245605469 × 65536)
    floor (49023.5)     		ty = 49023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50561 / 49023 ti = "16/50561/49023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50561/49023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50561 ÷ 216
    50561 ÷ 65536     		x = 0.771499633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49023 ÷ 216
    49023 ÷ 65536     		y = 0.748031616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771499633789062 × 2 - 1) × π
    0.542999267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70588251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748031616210938 × 2 - 1) × π
    -0.496063232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55842860664803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70588251} λ = 1.70588251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55842860664803))-π/2
    2×atan(0.210466537204099)-π/2
    2×0.207438984182263-π/2
    0.414877968364527-1.57079632675     		φ = -1.15591836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70588251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.739868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15591836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.229243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50561 KachelY 49023 1.70588251 -1.15591836 97.739868 -66.229243
    Oben rechts KachelX + 1 50562 KachelY 49023 1.70597838 -1.15591836 97.745361 -66.229243
    Unten links KachelX 50561 KachelY + 1 49024 1.70588251 -1.15595700 97.739868 -66.231457
    Unten rechts KachelX + 1 50562 KachelY + 1 49024 1.70597838 -1.15595700 97.745361 -66.231457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15591836--1.15595700) × R
    3.86399999998677e-05 × 6371000     		dl = 246.175439999157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15591836--1.15595700) × R
    3.86399999998677e-05 × 6371000     		dr = 246.175439999157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70588251-1.70597838) × cos(-1.15591836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403078252806098 × 6371000     		do = 246.195267166928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70588251-1.70597838) × cos(-1.15595700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403042890509652 × 6371000     		du = 246.173668308739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15591836)-sin(-1.15595700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403078252806098-0.403042890509652)×R²
    abs(1.70597838-1.70588251)×3.53622964465172e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53622964465172e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53622964465172e-05×40589641000000     		ar = 60604.5696741286m²