Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50560 / 48767
↖ ↑ ↗
← S 65.656010°
E 97.734375°		 ← 251.78 m → S 65.656010°
E 97.739868°		 →
↑
251.78 m
↓
↑
251.78 m
↓
S 65.658274°
E 97.734375°		 ← 251.75 m →
63 390 m²		 S 65.658274°
E 97.739868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771492004394531 y=0.744132995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771492004394531 × 216)
    floor (0.771492004394531 × 65536)
    floor (50560.5)     		tx = 50560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744132995605469 × 216)
    floor (0.744132995605469 × 65536)
    floor (48767.5)     		ty = 48767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50560 / 48767 ti = "16/50560/48767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50560/48767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50560 ÷ 216
    50560 ÷ 65536     		x = 0.771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48767 ÷ 216
    48767 ÷ 65536     		y = 0.744125366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771484375 × 2 - 1) × π
    0.54296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70578664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744125366210938 × 2 - 1) × π
    -0.488250732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53388491404256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70578664} λ = 1.70578664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53388491404256))-π/2
    2×atan(0.215696076785821)-π/2
    2×0.212441387029099-π/2
    0.424882774058198-1.57079632675     		φ = -1.14591355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70578664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14591355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.656010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50560 KachelY 48767 1.70578664 -1.14591355 97.734375 -65.656010
    Oben rechts KachelX + 1 50561 KachelY 48767 1.70588251 -1.14591355 97.739868 -65.656010
    Unten links KachelX 50560 KachelY + 1 48768 1.70578664 -1.14595307 97.734375 -65.658274
    Unten rechts KachelX + 1 50561 KachelY + 1 48768 1.70588251 -1.14595307 97.739868 -65.658274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14591355--1.14595307) × R
    3.95200000000706e-05 × 6371000     		dl = 251.78192000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14591355--1.14595307) × R
    3.95200000000706e-05 × 6371000     		dr = 251.78192000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70578664-1.70588251) × cos(-1.14591355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412213984030512 × 6371000     		do = 251.775260068806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70578664-1.70588251) × cos(-1.14595307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412177977547995 × 6371000     		du = 251.753267749645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14591355)-sin(-1.14595307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412213984030512-0.412177977547995)×R²
    abs(1.70588251-1.70578664)×3.60064825162265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60064825162265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60064825162265e-05×40589641000000     		ar = 63389.6897626508m²