Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50559 / 49793
↖ ↑ ↗
← S 67.877610°
E 97.728882°		 ← 230.04 m → S 67.877610°
E 97.734375°		 →
↑
230.06 m
↓
↑
230.06 m
↓
S 67.879679°
E 97.728882°		 ← 230.02 m →
52 920 m²		 S 67.879679°
E 97.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771476745605469 y=0.759788513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771476745605469 × 216)
    floor (0.771476745605469 × 65536)
    floor (50559.5)     		tx = 50559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759788513183594 × 216)
    floor (0.759788513183594 × 65536)
    floor (49793.5)     		ty = 49793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50559 / 49793 ti = "16/50559/49793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50559/49793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50559 ÷ 216
    50559 ÷ 65536     		x = 0.771469116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49793 ÷ 216
    49793 ÷ 65536     		y = 0.759780883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771469116210938 × 2 - 1) × π
    0.542938232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70569076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759780883789062 × 2 - 1) × π
    -0.519561767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63225143206291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70569076} λ = 1.70569076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63225143206291))-π/2
    2×atan(0.195488948207435)-π/2
    2×0.193054271187843-π/2
    0.386108542375687-1.57079632675     		φ = -1.18468778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70569076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.728882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18468778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.877610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50559 KachelY 49793 1.70569076 -1.18468778 97.728882 -67.877610
    Oben rechts KachelX + 1 50560 KachelY 49793 1.70578664 -1.18468778 97.734375 -67.877610
    Unten links KachelX 50559 KachelY + 1 49794 1.70569076 -1.18472389 97.728882 -67.879679
    Unten rechts KachelX + 1 50560 KachelY + 1 49794 1.70578664 -1.18472389 97.734375 -67.879679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18468778--1.18472389) × R
    3.61099999999226e-05 × 6371000     		dl = 230.056809999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18468778--1.18472389) × R
    3.61099999999226e-05 × 6371000     		dr = 230.056809999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70569076-1.70578664) × cos(-1.18468778) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376586305211351 × 6371000     		do = 230.038301885935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70569076-1.70578664) × cos(-1.18472389) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376552853328485 × 6371000     		du = 230.017867753777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18468778)-sin(-1.18472389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376586305211351-0.376552853328485)×R²
    abs(1.70578664-1.70569076)×3.34518828665198e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34518828665198e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34518828665198e-05×40589641000000     		ar = 52919.5274096797m²