Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50558 / 49175
↖ ↑ ↗
← S 66.563562°
E 97.723389°		 ← 242.93 m → S 66.563562°
E 97.728882°		 →
↑
242.93 m
↓
↑
242.93 m
↓
S 66.565747°
E 97.723389°		 ← 242.91 m →
59 011 m²		 S 66.565747°
E 97.728882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771461486816406 y=0.750358581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771461486816406 × 216)
    floor (0.771461486816406 × 65536)
    floor (50558.5)     		tx = 50558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750358581542969 × 216)
    floor (0.750358581542969 × 65536)
    floor (49175.5)     		ty = 49175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50558 / 49175 ti = "16/50558/49175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50558/49175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50558 ÷ 216
    50558 ÷ 65536     		x = 0.771453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49175 ÷ 216
    49175 ÷ 65536     		y = 0.750350952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771453857421875 × 2 - 1) × π
    0.54290771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70559489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750350952148438 × 2 - 1) × π
    -0.500701904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57300142413252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70559489} λ = 1.70559489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57300142413252))-π/2
    2×atan(0.207421686681588)-π/2
    2×0.204521505764671-π/2
    0.409043011529343-1.57079632675     		φ = -1.16175332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70559489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.723389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16175332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.563562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50558 KachelY 49175 1.70559489 -1.16175332 97.723389 -66.563562
    Oben rechts KachelX + 1 50559 KachelY 49175 1.70569076 -1.16175332 97.728882 -66.563562
    Unten links KachelX 50558 KachelY + 1 49176 1.70559489 -1.16179145 97.723389 -66.565747
    Unten rechts KachelX + 1 50559 KachelY + 1 49176 1.70569076 -1.16179145 97.728882 -66.565747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16175332--1.16179145) × R
    3.81299999998586e-05 × 6371000     		dl = 242.926229999099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16175332--1.16179145) × R
    3.81299999998586e-05 × 6371000     		dr = 242.926229999099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70559489-1.70569076) × cos(-1.16175332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397731467192325 × 6371000     		do = 242.929515905223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70559489-1.70569076) × cos(-1.16179145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397696482556931 × 6371000     		du = 242.908147717786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16175332)-sin(-1.16179145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397731467192325-0.397696482556931)×R²
    abs(1.70569076-1.70559489)×3.4984635394697e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4984635394697e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4984635394697e-05×40589641000000     		ar = 59011.3560145383m²