Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50551 / 49177
↖ ↑ ↗
← S 66.567931°
E 97.684936°		 ← 242.91 m → S 66.567931°
E 97.690430°		 →
↑
242.93 m
↓
↑
242.93 m
↓
S 66.570116°
E 97.684936°		 ← 242.89 m →
59 007 m²		 S 66.570116°
E 97.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771354675292969 y=0.750389099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771354675292969 × 216)
    floor (0.771354675292969 × 65536)
    floor (50551.5)     		tx = 50551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750389099121094 × 216)
    floor (0.750389099121094 × 65536)
    floor (49177.5)     		ty = 49177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50551 / 49177 ti = "16/50551/49177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50551/49177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50551 ÷ 216
    50551 ÷ 65536     		x = 0.771347045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49177 ÷ 216
    49177 ÷ 65536     		y = 0.750381469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771347045898438 × 2 - 1) × π
    0.542694091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70492377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750381469726562 × 2 - 1) × π
    -0.500762939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.573193171731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70492377} λ = 1.70492377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.573193171731))-π/2
    2×atan(0.207381917884202)-π/2
    2×0.204483377091519-π/2
    0.408966754183037-1.57079632675     		φ = -1.16182957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70492377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.684936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16182957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.567931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50551 KachelY 49177 1.70492377 -1.16182957 97.684936 -66.567931
    Oben rechts KachelX + 1 50552 KachelY 49177 1.70501965 -1.16182957 97.690430 -66.567931
    Unten links KachelX 50551 KachelY + 1 49178 1.70492377 -1.16186770 97.684936 -66.570116
    Unten rechts KachelX + 1 50552 KachelY + 1 49178 1.70501965 -1.16186770 97.690430 -66.570116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16182957--1.16186770) × R
    3.81299999998586e-05 × 6371000     		dl = 242.926229999099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16182957--1.16186770) × R
    3.81299999998586e-05 × 6371000     		dr = 242.926229999099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70492377-1.70501965) × cos(-1.16182957) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.397661506518648 × 6371000     		do = 242.912119796349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70492377-1.70501965) × cos(-1.16186770) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.397626520727037 × 6371000     		du = 242.890748673764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16182957)-sin(-1.16186770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397661506518648-0.397626520727037)×R²
    abs(1.70501965-1.70492377)×3.49857916115415e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.49857916115415e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.49857916115415e-05×40589641000000     		ar = 59007.1296871705m²